[SS] Continuous Time System

1. 정의 및 분류

System이란?

2023.08.21 - [.../Signals and Systems] - [SS] System 이란?

[SS] System 이란?

System이란 하나의 신호를 다른 신호로 매핑(mapping) 또는 변형(transform)하는 규칙 function of functions, transformation of functions 일련의 신호(입력)를 특정한 목적에 맞도록 조작하고 처리(교환, 변환, 가공,

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System의 종류

2023.08.21 - [.../Signals and Systems] - [SS] System의 종류 (1)

[SS] System의 종류 (1)

1. Continuous System & Discrete System Continuous System 입력과 출력이 연속 신호인 시스템 Discrete System 입력과 출력이 이산 신호인 시스템 2. Linear System & Non-linear system Linear system $\mathcal{T}\left\{ \quad \right\}$ 은

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2023.08.21 - [.../Signals and Systems] - [SS] System의 종류 (2)

[SS] System의 종류 (2)

Time Invariant System and Time Varying Ssytem $y(t-t_0) = T\left\{ x(t-t_0) \right\}$ 시스템 특성(parameters)이 시간에 따라 불변(invariant) 시간에 상관없이 같은 입력에 대해서는 같은 반응을 나타냄 시불변이 아닌

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2023.08.21 - [.../Signals and Systems] - [SS] System의 종류 (3)

[SS] System의 종류 (3)

Dynamic Systems and Instantaneous Systems https://bme808.blogspot.com/2022/10/dynamic-system.html SS : Dynamical Systems and Instantaneous Systems Dynamical System 특정 시간 $t$ 에서 System의 출력이 $t$ 이전의 과거의 입력과 출력에 영

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2. Linear Time Invariant (LTI) System

Linearity
Time invariant

Review : Unit Impulse Signal

2022.08.29 - [.../Signals and Systems] - [SS] Impulse Function (Dirac Delta Function)

[SS] Impulse Function (Dirac Delta Function)

다음과 같이 정의 되는 함수를 $\delta_\epsilon(t)$ 라고 하자. $$\delta_\epsilon( t ) =\left\{ \begin{matrix} 0 & ,t < -\frac { \varepsilon }{ 2 } \\ \frac { 1 }{ \varepsilon } & ,-\frac { \varepsilon }{ 2 } \le t

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Impulse Response

2023.09.21 - [.../Signals and Systems] - [SS] Impulse Response란 :

[SS] Impulse Response란 :

System의 impulse response는 다음을 의미한다. System의 input이 impluse signal인 경우의 output을 해당 system의 impulse response라고 한다. LTI System에서의 Impulse response의 의미. LTI System의 impulse response를 파악했다면

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LTI System의 출력 : impulse response와 input signal의 convolution

2023.08.21 - [.../Signals and Systems] - [SS] Output of LTI System : Convolution with Impulse Response

[SS] Output of LTI System : Convolution with Impulse Response

LTI System $T$ 를 다음과 같은 수식으로 나타낼 수 있다고 하자. $y(t) = T\left\{x(t)\right\}$ where $x(t)$ : input signal에 해당하는 function. $y(t)$ : output signal에 해당하는 function. 여기서, sifting property에 의해 imp

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2023.08.21 - [.../Signals and Systems] - [SS] Convolution Op.에서 교환법칙 증명.

[SS] Convolution Op.에서 교환법칙 증명.

$$\begin{aligned}y(t)&=x(t)*h(t)\\&=\int^\infty_{-\infty}x(\tau)h(t-\tau)d\tau \\ &=- \int^{-\infty}_\infty x(t-l)h(l) dl \quad\quad \leftarrow l=t-\tau \\ &=- \int^{-\infty}_\infty h(l) x(t-l)dl \\&=\int^{\infty}_{-\infty} h(l) x(t-l)dl\\&=\int^{\infty}_{

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Causal System에서의 Convolution 범위 한정.

2023.08.22 - [.../Signals and Systems] - [SS] Causal LTI System and Convolution

[SS] Causal LTI System and Convolution

LTI system이 causal인 경우, impulse response $h(\tau)$ 는 $\taut$ 일 때 값이 0임. 때문에 Causal LTI System의 출력을 구하는 Convolution의 범위는 $(-\infty, \infty)$ 를 모두 처리할 필요 없음. 즉, $h(\tau)$ 와 $x(t-\tau)$ 의

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Convolution Example

2023.08.22 - [.../Signals and Systems] - [SS] Convolution Example : Pulse Function

[SS] Convolution Example : Pulse Function

Pulse function $f(t)$ (blue)와 $g(t)$ (red)의 convolution을 보여주는 gif임. $g(t)$ 를 reflection시킨 후 slide을 시킴. 검은색 라인이 바로 $(f*g)(t)$ 의 결과를 보여줌. 둘다 unit pulse이므로 convolution의 결과는 노란색

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Convolution vs. Cross Correlation

2022.10.14 - [.../Signals and Systems] - [SS] Cross Correlation

[SS] Cross Correlation

입력으로 주어진 두 개의 함수(or signal)의 상관관계(correlation, 또는 similarity 유사성)을 나타내는 함수(or signal)를 반환하는 연산. Cross correlation (흔히 correlation으로도 불림)의 수식은 다음과 같음 (1D

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3. System의 연결방식

2023.08.22 - [.../Signals and Systems] - [SS] Cascade Connection

[SS] Cascade Connection

입력이 $x(t)$ 이고 최종출력이 $y_2(t)$ , 중간 출력이 $y_1(t)인 cascade connection의 diagram은 다음과 같음.$ h_1(t) $과$ h_2(t) $는 subsystem1과 subsystem2의 impulse response임. 입력이 impulse인 경우, 다음이 성립함.$ x(t)

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2023.08.22 - [.../Signals and Systems] - [SS] Parallel Connection

[SS] Parallel Connection

입력이 $x(t)$ 이고 최종출력이 $y(t)$ 인 parallel connection의 diagram은 다음과 같음. $h_1(t)$ 과 $h_2(t)$ 는 subsystem1과 subsystem2의 impulse response임. $y_1(t)$ 과 $y_2(t)$ 는 subsystem1과 subsystem2의 output임. 위와 같은 paral

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2023.08.22 - [.../Signals and Systems] - [SS] Feedback Connection

[SS] Feedback Connection

Feedback Connection (궤한연결)의 경우 뒷단시스템( $h_2(t)를 impulse response로 가짐)의 출력이 다시 앞단시스템 ($ h_1(t)를 impulse response로 가짐)의 입력으로 feedback(되먹임)됨 Feedback Connection의 경우, positive f

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4. Stable System

2023.08.22 - [.../Signals and Systems] - [SS] BIBO Stable System

[SS] BIBO Stable System

input과 output으로 나타낸 stable system Bounded Input Bounded Output (BIBO) stable system 이란? 제한된 input이 입력되면 제한된 output의 출력을 보장하는 stable system. 수식으로 보면 input과 output이 다음을 만족함. $$

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5. Differential Equation 과 System

2023.10.02 - [.../Signals and Systems] - [SS] System 표현하기 : Impulse Response vs. Differential Equation

[SS] System 표현하기 : Impulse Response vs. Differential Equation

System 이란? System은 하나의 신호를 다른 신호로 매핑(mapping) 또는 변형(transform)하는 규칙 System 표현 (기술, representation) 이를 기술하는 가장 좋은 방법은 다음 두가지임. impulse response (h) 를 이용한

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2023.10.03 - [.../Signals and Systems] - [SS] System and Differential Equation

[SS] System and Differential Equation

Differential Equation으로 System을 기술할 경우, 초기조건을 포함한 differential eq.은 system의 완전한 동작특성을 기술할 수 있음. complete solution을 구하기 위해 필요한 초기조건의 갯수는 order의 수만큼임.

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Differential Equation Examples : RL, RC, RLC Circuits.

2023.10.02 - [.../Signals and Systems] - [SS] RL Circuit : differential equation 으로 풀기.

[SS] RL Circuit : differential equation 으로 풀기.

다음의 RL회로를 미분방정식으로 풀기 $t=0$ 에서 스위치가 닫힘. 위의 회로에서 입출력 및 초기조건은 다음과 같음. input : $E$ (voltage) output : $i(t)$ (current) initial condition : $i(t=0)=i_0=0$ (inductor L의 $t=0$

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2023.10.03 - [.../Signals and Systems] - [SS] RC Circuit : differential equation으로 풀기.

[SS] RC Circuit : differential equation으로 풀기.

다음의 RC회로(High-pass Filter)를 미분방정식으로 풀기. $t=0$ 에서 스위치가 닫힘. 위의 회로에서 입출력 및 초기조건은 다음과 같음. input : $E$ (voltage) output : $i(t)$ (current) initial condition : $q_c(0)=0$ (capac

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2023.08.22 - [.../Signals and Systems] - [SS] RLC Circuit & Differential Eq

[SS] RLC Circuit & Differential Eq

다음의 RLC회로를 미분방정식으로 풀기 위의 회로에서 입출력 및 초기조건은 다음과 같음. input : $x(t) = 10e^{-3t}u(t)$ (voltage) output : $y(t)$ (current) initial condition : $y(0)=0$ , $V_c(0)=5$ $u(t)$ : unit step function.

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6. System Response

2023.10.02 - [.../Signals and Systems] - [SS] System Response

[SS] System Response

System의 Response는 다음과 같이 3가지 기준으로 분류할 수 있음. Zero-input response vs. Zero-state response "누가 response를 만드는가? (초기조건 vs. 외부입력)" 를 기준으로 분류하는 방식이며 다음과 같은 2

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7. System Representation

5절의 Example 중 RLC에 대한 Circuit을 통해 canonical form의 구현을 설명함.

2023.08.22 - [.../Signals and Systems] - [SS] Differential Equation : 1st Canonical Form

[SS] Differential Equation : 1st Canonical Form

다음과 같은 미분 방정식을 1st canonical form으로 표현. $\begin{aligned}(D^2+3D+2) y(t) &= D x(t)\end{aligned}$ $D$ : 미분연산자. 우선 적분기를 사용하기 위해 미분연산자를 제거. $$D^{-2}[(D^2+3D+2) y(t)] = D^{-2}[D x

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2023.08.22 - [.../Signals and Systems] - [SS] Differential Equation : 2nd Canonical Form

[SS] Differential Equation : 2nd Canonical Form

다음과 같은 미분 방정식을 2nd canonical form으로 표현. $\begin{aligned}(D^2+3D+2) y(t) &= D x(t)\end{aligned}$ $D$ : 미분연산자. 우선 적분기를 사용하기 위해 미분연산자를 제거. $$D^{-2}[(D^2+3D+2) y(t)] = D^{-2}[D x

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2023.10.03 - [.../Signals and Systems] - [SS] 1st canonical form and 2nd canonical form

[SS] 1st canonical form and 2nd canonical form

1st canonical form(제1표준형)과 2nd canonical form(제2표준형)은 서로 transpose (전치관계)임 즉, 입력과 출력을 바꾸고 화살표의 방향을 반대로 하면 동일해짐. 위의 그림은 다음의 differential equation에 대한

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