증명1보통 $a>0$ 가정$$x(t)=u(t)-u(t-a)=\begin{cases}1,& 0\le t0,& \text{그 외}\end{cases}$$이와 같으므로 unilateral transform 은$$\mathcal{L}[x(t)]= \int_{0}^{\infty} e^{-st}\big[u(t)-u(t-a)\big] dt= \int_{0}^{a} e^{-st} dt$$구간 외에는 0 임.$\operatorname{Re}(s)>0$에서$$\int_{0}^{a} e^{-st} dt= \left[\frac{e^{-st}}{-s}\right]_{0}^{a}= \frac{1-e^{-as}}{s}.$$위에 의해 다음이 성립$$\boxed{\;\mathcal{L}[u(t)-u(t-a)]=\dfrac{1-e^{-..

1. Laplace Transform의 정의One-sided(unilateral) Laplace transform은 다음과 같이 정의:$$\mathcal{L}[f(t)] = \int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t)\, dt$$where,$s = \sigma + j\omega$2. $f(t) = 1$을 대입$$\mathcal{L}[1] = \int_{0}^{\infty} e^{-st}\, dt$$3. 적분 계산이 적분은 지수함수의 무한 적분임.때문에 수렴 조건을 먼저 확인하여 ROC를 구함.$\operatorname{Re}(s) > 0$ 일 때만 수렴.적분을 계산하면:$$\int_{0}^{\infty} e^{-st}\, dt = \left[ \frac{e^{-st}}{-s} \right]_{..

Matrix NormVector의 Norm을 이용한 Matrix의 Norm의 정의는 다음과 같음.$$\|A\|=\underset{\textbf{x}\ne\textbf{0}}{\text{max}} \frac{\|A\textbf{x}\|}{\|\textbf{x}\|}$$$\textbf{x}$ : 임의의 column vector.위의 Matrix의 Norm에 대한 정의로부터 다음이 성립.$$\|A\textbf{x}\|\le\|A\|\|\textbf{x}\|$$ 좀 더 자세히 말하면, 이는 Operator norm (or induced norm)이라고 불리는 것으로 matrix를 linear transform으로 보고 해당 변환이 얼마나 input vector의 norm을 "증가시키는지"를 norm으로 표현함...

Lorentzian 함수(로렌츠 함수)는 물리학과 신호처리, 특히 공명(resonance)과 푸리에 변환에서 자주 등장하는 함수.1. DefinitionLorentzian function 또는 Cauchy distribution function은 다음과 같이 정의됨:$$L(x; x_0, \gamma) = \frac{1}{\pi}\frac{\gamma}{(x - x_0)^2 + \gamma^2}$$where,$x_0$: 중심(center). 주로 0으로 사용되는 경우도 많음.$\gamma$ > 0: 반치폭(half width at half maximum, HWHM)전체 면적 $\int_{-\infty}^{\infty} L(x),dx = 1$다음과 같이 $\frac{1}{\pi}$를 제거하고 $x_0=0$..

Parseval's Theorem은 에너지 보존을 의미함:주파수 도메인에서 표현하는 경우나시간 도메인에서 표현하는 경우나에너지는 변화가 없음을 의미함.다른 이름으로 Energy Theorem 또는 Rarseval's Relation 이라고도 부름.2023.06.16 - [.../Signals and Systems] - [SS] Signal의 정량적 특성 [SS] Signal의 정량적 특성Signal을 수학적으로 보통 function으로 나타내는 것처럼,해당 "signal"의 크기를 정량화 하는 것들을 signal의 정량적 특성 또는 정량적 표현이라고 할 수 있다.vector의 크기를 나타내는 것 : length (=L-2 nodsaint31.tistory.comAsymmetric Fourier Trans..

Poisson Distribution : mean=variance단위 면적당 검출 count $N$이 Poisson Ditribution 를 따른다면 다음이 성립:$$N \sim \text{Poisson}(\lambda)$$where,$\lambda$ = 단위 면적당 mean count = $\mathbb{E}[N]$Poisson Distribution이므로,$$\mathbb{E}[N]=\mathrm{Var}[N] = \lambda$$ 2023.10.25 - [.../Math] - [Math] Poisson Distribution (포아송분포) [Math] Poisson Distribution (포아송분포)Poisson Distribution이란?아주 가끔 일어나는 사건(trial)에 대한 확률 분포 :..