1. 삼각행렬(Triangular Matrix)Triangular Matrix 는 다음 두 가지 유형으로 나뉨:1-1. 상삼각행렬(Upper Triangular Matrix):Main Diagonal(주대각선) 아래의 모든 원소가 0인 행렬수식으로: 모든 $i > j$ 에 대해 $a_{ij} = 0$형태:$$\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \dots & a_{1n} \\0 & a_{22} & a_{23} & \dots & a_{2n} \\0 & 0 & a_{33} & \dots & a_{3n} \\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\0 & 0 & 0 & \dots & a_{nn} \end{bmatrix}$$1-2. ..

특징trigonometric functions와 유사한 성질 을 가지나, exponential functions를 기반으로 정의 됨.trigonometric functions는 단위원(circle, $x^2 + y^2 = 1$)과 관련이 있는 것과 달리, hyperbolic functions는 쌍곡선 ($x^2 - y^2 = 1$ )과 관련이 있음.$cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$ 이라는 중요한 항등식이 성립함. 쌍곡선 함수의 종류$\sinh x$ (쌍곡선 사인, Hyperbolic Sine)$$\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$$$\cosh x$ (쌍곡선 코사인, Hyperbolic Cosine)$$\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$$$\..

Definition$$\| \mathbf{u} + \mathbf{v} \| \le \|\mathbf{u}\| + \|\mathbf{v}\|$$증명https://youtu.be/4Q6kMzzVgcw 같이보면 좋은 자료들https://bme808.blogspot.com/2022/10/norm.html Norm (노름)Vector 및 matrix의 크기에 해당하는 양(magnitude) 을 구하는 연산 으로 사용됨. The higher the norm index ($p$값이 클 경우), the more it focuses on large values and neg...bme808.blogspot.com2023.08.22 - [.../Math] - [Math] The Cauchy-Schwarz Inequalit..

Basis $B=\{\mathbf{b}_1, \dots, \mathbf{b}_n\}$을 사용하여 $\mathbb{R}^n$의 특정 point $\mathbf{x}$를 나타내는 coordinate $\mathbf{c}$인 경우, 다음이 성립함.$$\begin{aligned}\mathbf{x} &= c_1 \mathbf{b}_1 + \dots + c_n \mathbf{b}_n \\ &= \begin{bmatrix} \mathbf{b}_1 & \cdots & \mathbf{b}_n \end{bmatrix} \mathbf{c} \\ &= A_{B} \mathbf{c} \\ &= A_{B} [\mathbf{x}]_B\end{aligned}$$$A_B$ :basis $B$에서 standard basis of $\m..

수학에서 isomorphism(동형)은 두 개의 수학적 구조가 본질적으로 동일하며, 서로 1:1 대응되는 관계를 의미한다. 즉, 한 구조에서 수행하는 연산과 관계를 다른 구조에서도 동일하게 수행할 수 있을 때, 우리는 이 두 구조가 “동형”이라고 애기함. 다음은 isomorphism을 graph로 예를 든 것임:1. 2차원 벡터와 점의 표현2차원 벡터 $\mathbf{v} = \langle a, b\rangle$는 다음 두 가지 방식으로 표현할 수 있음.2차원 좌표 평면의 한 점 $(a,b)$로 표현이는 평면 위의 특정한 위치를 나타냄.원점에서 시작하여 점 $(a, b)$까지 이어지는 화살표(벡터)로 표현이는 크기와 방향을 가진 수학적 객체로서 해석 가능.이 두 표현은 서로 다른 방식이지만, 둘 다 평면..

예제함수 $f(x) = x^2$, domain $X = [-2, 2]$ 를 예제로 하여 domain, codomain, image, range, preimage, coimage 를 구해봄.Domain (정의역): $X = [-2, 2]$입력값의 범위: $-2 \le x \le 2$Codomain (공역): $Y = \mathbb{R}$ (실수 전체)가능한 모든 출력값의 집합Image (상): $\{y | y = x^2, x \in [-2, 2]\}$실제 출력값의 범위최솟값: $x = 0$일 때, $f(0) = 0$최댓값: $x = \pm 2$일 때, $f(\pm 2) = 4$따라서 $\text{image} = [0, 4]$Range (치역): $[0, 4]$image와 동일.image들의 집합을 가리키는..