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[LA] Triangular Matrix and Diagonal Matrix
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.../Linear Algebra
1. 삼각행렬(Triangular Matrix)Triangular Matrix 는 다음 두 가지 유형으로 나뉨:1-1. 상삼각행렬(Upper Triangular Matrix):Main Diagonal(주대각선) 아래의 모든 원소가 0인 행렬수식으로: 모든 i>j 에 대해 aij=0형태:[a11a12a13a1n0a22a23a2n00a33a3n000ann]1-2. ..
[Math] Hyperbolic Functions (쌍곡선 함수)
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.../Math
특징trigonometric functions와 유사한 성질 을 가지나, exponential functions를 기반으로 정의 됨.trigonometric functions는 단위원(circle, x2+y2=1)과 관련이 있는 것과 달리, hyperbolic functions는 쌍곡선 (x2y2=1 )과 관련이 있음.cosh2xsinh2x=1 이라는 중요한 항등식이 성립함. 쌍곡선 함수의 종류sinhx (쌍곡선 사인, Hyperbolic Sine)sinhx=exex2coshx (쌍곡선 코사인, Hyperbolic Cosine)coshx=ex+ex2$\..
[Math] Triangular Inequality (삼각부등식)
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.../Math
Definition증명https://youtu.be/4Q6kMzzVgcw 같이보면 좋은 자료들https://bme808.blogspot.com/2022/10/norm.html Norm (노름)Vector 및 matrix의 크기에 해당하는 양(magnitude) 을 구하는 연산 으로 사용됨. The higher the norm index (p값이 클 경우), the more it focuses on large values and neg...bme808.blogspot.com2023.08.22 - [.../Math] - [Math] The Cauchy-Schwarz Inequalit..
[LA] Coordinate Mapping
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.../Linear Algebra
Basis B=\{\mathbf{b}_1, \dots, \mathbf{b}_n\}을 사용하여 \mathbb{R}^n의 특정 point \mathbf{x}를 나타내는 coordinate \mathbf{c}인 경우, 다음이 성립함.\begin{aligned}\mathbf{x} &= c_1 \mathbf{b}_1 + \dots + c_n \mathbf{b}_n \\ &= \begin{bmatrix} \mathbf{b}_1 & \cdots & \mathbf{b}_n \end{bmatrix} \mathbf{c} \\ &= A_{B} \mathbf{c} \\ &= A_{B} [\mathbf{x}]_B\end{aligned}A_B :basis B에서 standard basis of $\m..
[LA] Isomorphism (동형사상)
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.../Linear Algebra
수학에서 isomorphism(동형)은 두 개의 수학적 구조가 본질적으로 동일하며, 서로 1:1 대응되는 관계를 의미한다. 즉, 한 구조에서 수행하는 연산과 관계를 다른 구조에서도 동일하게 수행할 수 있을 때, 우리는 이 두 구조가 “동형”이라고 애기함. 다음은 isomorphism을 graph로 예를 든 것임:1. 2차원 벡터와 점의 표현2차원 벡터 \mathbf{v} = \langle a, b\rangle는 다음 두 가지 방식으로 표현할 수 있음.2차원 좌표 평면의 한 점 (a,b)로 표현이는 평면 위의 특정한 위치를 나타냄.원점에서 시작하여 점 (a, b)까지 이어지는 화살표(벡터)로 표현이는 크기와 방향을 가진 수학적 객체로서 해석 가능.이 두 표현은 서로 다른 방식이지만, 둘 다 평면..
[Math] 예제: Domain, Codomain, Image, Range, Preimage, Coimage
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.../Math
예제함수 f(x) = x^2, domain X = [-2, 2] 를 예제로 하여 domain, codomain, image, range, preimage, coimage 를 구해봄.Domain (정의역): X = [-2, 2]입력값의 범위: -2 \le x \le 2Codomain (공역): Y = \mathbb{R} (실수 전체)가능한 모든 출력값의 집합Image (상): \{y | y = x^2, x \in [-2, 2]\}실제 출력값의 범위최솟값: x = 0일 때, f(0) = 0최댓값: x = \pm 2일 때, f(\pm 2) = 4따라서 \text{image} = [0, 4]Range (치역): [0, 4]image와 동일.image들의 집합을 가리키는..