0. Laplace Transform의 정의$$\mathcal{L}[x(t)]= \int_{0^-}^{\infty} x(t) e^{-st} dt$$1. 변환할 함수인 shifted impulse 대입$$x(t) = \delta(t-a)$$대입하면$$X(s)=\int_{0^-}^{\infty} \delta(t-a) e^{-st} dt$$ $\delta$의 위치가 적분 범위 안에 있는지 확인해야 적분의 값이 구해지는데, Laplace 적분의 구간은 다음과 같음:$$0^- \le t 즉, $a>0$이면 $\delta(t−a)$는 이 구간 안에 존재하므로, 적분값은 0이 되지 않음.2. $\delta$의 sifting 성질을 적용하기 위한 준비Dirac delta의 기본 성질: sifting property ..

z-Transform 은 Laplace Transform의 Discrete Version임 이 글은 이를 유도해본다.1. 연속시간 Laplace Transform의 기본 구조연속시간 신호 $x(t)$에 대해 Lapalce Transform은 다음과 같음.$$X(s) = \int_{0}^{\infty} x(t) e^{-st} dt$$복소지수항 $e^{-st}$ 을 사용함.2. 샘플링을 통한 이산신호 표현샘플링 주기 $T$에서 얻는 이산신호는 $x[n] = x(nT)$ 로 정의됨이산신호를 연속시간에서 표현하면 shifted impulse들의 가중합 이 됨.$$x_s(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]\delta(t-nT)$$3. 샘플링된 신호의 Laplace Transform 계..

증명1보통 $a>0$ 가정$$x(t)=u(t)-u(t-a)=\begin{cases}1,& 0\le t0,& \text{그 외}\end{cases}$$이와 같으므로 unilateral transform 은$$\mathcal{L}[x(t)]= \int_{0}^{\infty} e^{-st}\big[u(t)-u(t-a)\big] dt= \int_{0}^{a} e^{-st} dt$$구간 외에는 0 임.$\operatorname{Re}(s)>0$에서$$\int_{0}^{a} e^{-st} dt= \left[\frac{e^{-st}}{-s}\right]_{0}^{a}= \frac{1-e^{-as}}{s}.$$위에 의해 다음이 성립$$\boxed{\;\mathcal{L}[u(t)-u(t-a)]=\dfrac{1-e^{-..

1. Laplace Transform의 정의One-sided(unilateral) Laplace transform은 다음과 같이 정의:$$\mathcal{L}[f(t)] = \int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t)\, dt$$where,$s = \sigma + j\omega$2. $f(t) = 1$을 대입$$\mathcal{L}[1] = \int_{0}^{\infty} e^{-st}\, dt$$3. 적분 계산이 적분은 지수함수의 무한 적분임.때문에 수렴 조건을 먼저 확인하여 ROC를 구함.$\operatorname{Re}(s) > 0$ 일 때만 수렴.적분을 계산하면:$$\int_{0}^{\infty} e^{-st}\, dt = \left[ \frac{e^{-st}}{-s} \right]_{..

Matrix NormVector의 Norm을 이용한 Matrix의 Norm의 정의는 다음과 같음.$$\|A\|=\underset{\textbf{x}\ne\textbf{0}}{\text{max}} \frac{\|A\textbf{x}\|}{\|\textbf{x}\|}$$$\textbf{x}$ : 임의의 column vector.위의 Matrix의 Norm에 대한 정의로부터 다음이 성립.$$\|A\textbf{x}\|\le\|A\|\|\textbf{x}\|$$ 좀 더 자세히 말하면, 이는 Operator norm (or induced norm)이라고 불리는 것으로 matrix를 linear transform으로 보고 해당 변환이 얼마나 input vector의 norm을 "증가시키는지"를 norm으로 표현함...

Lorentzian 함수(로렌츠 함수)는 물리학과 신호처리, 특히 공명(resonance)과 푸리에 변환에서 자주 등장하는 함수.1. DefinitionLorentzian function 또는 Cauchy distribution function은 다음과 같이 정의됨:$$L(x; x_0, \gamma) = \frac{1}{\pi}\frac{\gamma}{(x - x_0)^2 + \gamma^2}$$where,$x_0$: 중심(center). 주로 0으로 사용되는 경우도 많음.$\gamma$ > 0: 반치폭(half width at half maximum, HWHM)전체 면적 $\int_{-\infty}^{\infty} L(x),dx = 1$다음과 같이 $\frac{1}{\pi}$를 제거하고 $x_0=0$..