input signal: $x(t) = 10 e^{-3t} u(t)$initial condition: $y(0^-) = 0, y^\prime(i^-) = 0$8. differential equation9. frequency response10. transfer function11. impulse response12. zero input response and zero state response 8-11: https://youtu.be/3pgvBgIf99k 12: https://youtu.be/RWDLd5aplak

$t^n e^{-at}$의 Laplace Transform$$\mathcal{L} (t^n e^{-at}) = \int_0^\infty t^n e^{-at} e^{-st} dt = \frac{n!}{(s+a)^{n+1}} $$위 적분을$s^\prime = s + a$ 로 치환하고Gamma function을 이용한 지수 함수와 $t^n$의 적분공식을 활용하여 증명증명:$$\mathcal{L} (t^n e^{-at}) = \int_0^\infty t^n e^{-(s+a)t} dt$$ 여기서 $s^\prime = s + a$로 치환.$$s^\prime = s + a \quad \Rightarrow \quad s = s^\prime - a$$ 위 적분식은 다음과 같이 변경됨.$$\int_0^\infty t^n ..

$e^{-at}$의 Laplace Transform$$\mathcal{L}(e^{-at}) = \int_0^\infty e^{-at} e^{-st} , dt$$증명:$$\mathcal{L}(e^{-at}) = \int_0^\infty e^{-(s+a)t} , dt$$ 여기서 $s^\prime = s + a$로 치환$$s^\prime = s + a \quad \Rightarrow \quad s = s^\prime - a$$ 따라서, 적분식은 다음과 같이 변경됨.$$\int_0^\infty e^{-(s+a)t} dt = \int_0^\infty e^{-s't} dt$$ 이제 $\int_0^\infty e^{-s^\prime t} dt$를 계산함. 이는 $s^\prime > 0$ 일 때 다음과 같음:$$\in..

1. Covolution의  FT: Multiplication$$x(t) \leftrightarrow X(\Omega), \quad h(t) \leftrightarrow H(\Omega) \\ h(t) * x(t) \leftrightarrow H(\Omega) X(\Omega)$$1-1. 증명:$$\begin{aligned}&\int_{-\infty}^\infty [x(t) * h(t)] e^{-j\Omega t} dt\\&= \int_{-\infty}^\infty \left[ \int_{-\infty}^\infty x(\tau) h(t-\tau) d\tau \right] e^{-j\Omega t} dt\\&= \int_{-\infty}^\infty x(\tau) \left[ \int_{-\infty}^..

0. Continuous Signal: Time Scaling$$x(t) \leftrightarrow X(\Omega) \\ y(t)=x(at) \\ Y(\Omega) = \frac{1}{|a|}X\left( \frac{\Omega}{a} \right)$$Compression: $|a|>1$ / Expansion $|a|Time domain 에서의 compression은 Freq. domain 에서의 Expansion, Vice Versa주의할 점은 Continuous에서는 signal의 밀도가 바뀌기 때문에 $\frac{1}{|a|}$로의 magnification이 발생함.0-0. 증명Case: $a>0$$$\begin{aligned}\int^\infty_{t=-\infty}e^{-j\Omega t} ..

신호처리 관점에서의 시스템 표현: 차분 방정식과 MA, AR, ARMA, ARIMA, SARIMA 모델신호처리에서 이산 신호 시스템은 FIR(Finite Impulse Response) 시스템과 IIR(Infinite Impulse Response) 시스템으로 분류할 수 있음.이들은 difference equation(차분 방정식)을 통해 수학적으로 표현가능함.그러나 차분 방정식만으로는 신호의 주파수 응답, 자기 상관성, 노이즈 제거 등의 다양한 특성을 효과적으로 반영한 모델링이 어려움. 이를 보완하기 위해 다음의 확장된 형태의 표현(representation, model)이 도입됨.MA(Moving Average),AR(Auto-Regressive),ARMA(Auto-Regressive Moving A..