Laplace 분포(Laplace Distribution) 소개Laplace 분포(Laplace Distribution)는 다음과 같은 특징을 가지는 연속확률분포임.sharp한 peak(정점)(Normal Distribution에 비해 더) 두꺼운 꼬리(heavy tails)를 가짐.double exponential distribution 이라고도 불림.이 분포는 Pierre-Simon Laplace의 이름을 따서 명명되었으며, 통계학, 금융, 신호 처리(signal processing), 기계 학습(machine learning) 등 다양한 분야에서 사용됨.확률 밀도 함수(Probability Density Function, PDF)Laplace 분포의 PDF는 다음과 같이 정의됨:$$f(x | \mu..

다음은 Scalar-Valued Function에 기반.증가/감소Function 의 증가/감소 는 1st derivative 으로 판정 가능.$\frac{df(a)}{dx} > 0 $ 이면, $f(x)$는 $x=a$ 에서 증가 상태임.$\frac{df(a)}{dx} 미분가능한 함수에서 극값(극대/극소)의 조건.$x=a$가 extremum point에서 $f(x)$가 extremum value 이려면$\frac{df(a)}{dx} =0$ 이 성립multi-variable function 인 경우, gradient가 0.2023.07.10 - [.../Math] - [Math] Stationary point (or Critical point) [Math] Stationary point (or Critical..

Binomial TheoremBinomial Theorem (이항정리)는$(a + b)^n$ 형태의 이항식을$a$ 와 $b$의 항들로 이루어진 합으로 전개하는 방법을 설명하는 Theorem.공식 (Formula)Binomial Theorem 는 다음과 같이 표현:$$(a + b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$$여기서:$n$: 양의 정수 또는 0 (지수),$\binom{n}{k}$: Binomial Coefficient(이항계수)로 $n$ 개 중 $k$ 개를 선택하는 방법의 수:$$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$ 2024.02.04 - [.../Math] - [math] Factorial(계승), Permutation (순열)..

input signal: $x(t) = 10 e^{-3t} u(t)$initial condition: $y(0^-) = 0, y^\prime(i^-) = 0$8. differential equation9. frequency response10. transfer function11. impulse response12. zero input response and zero state response 8-11: https://youtu.be/3pgvBgIf99k 12: https://youtu.be/RWDLd5aplak

$t^n e^{-at}$의 Laplace Transform$$\mathcal{L} (t^n e^{-at}) = \int_0^\infty t^n e^{-at} e^{-st} dt = \frac{n!}{(s+a)^{n+1}} $$위 적분을$s^\prime = s + a$ 로 치환하고Gamma function을 이용한 지수 함수와 $t^n$의 적분공식을 활용하여 증명증명:$$\mathcal{L} (t^n e^{-at}) = \int_0^\infty t^n e^{-(s+a)t} dt$$ 여기서 $s^\prime = s + a$로 치환.$$s^\prime = s + a \quad \Rightarrow \quad s = s^\prime - a$$ 위 적분식은 다음과 같이 변경됨.$$\int_0^\infty t^n ..

$e^{-at}$의 Laplace Transform$$\mathcal{L}(e^{-at}) = \int_0^\infty e^{-at} e^{-st} , dt$$증명:$$\mathcal{L}(e^{-at}) = \int_0^\infty e^{-(s+a)t} , dt$$ 여기서 $s^\prime = s + a$로 치환$$s^\prime = s + a \quad \Rightarrow \quad s = s^\prime - a$$ 따라서, 적분식은 다음과 같이 변경됨.$$\int_0^\infty e^{-(s+a)t} dt = \int_0^\infty e^{-s't} dt$$ 이제 $\int_0^\infty e^{-s^\prime t} dt$를 계산함. 이는 $s^\prime > 0$ 일 때 다음과 같음:$$\in..