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[Math] Basis

기저(Basis)는 vector space 또는 function space 에서 모든 요소를 나타내기 위해 필요한 최소한의 독립적인 요소 집합(vector set or function set).Basis (기저)는 벡터 공간 또는 함수 공간의 구조와 차원을 이해하는 데 필수적기저들의 선형 결합을 통해 공간의 모든 요소를 표현할 수 있음.Basis 의 조건Basis 가 되기 위해서는 다음 두 가지 조건을 만족해야 함.선형 독립성(Linear Independence):기저 벡터 집합의 각 벡터는 다른 벡터들의 선형 결합으로 나타낼 수 없어야 함.즉, 모든 기저 벡터가 서로 독립적.벡터 공간을 생성(Span):basis들의 선형 결합으로 벡터 공간의 모든 벡터를 표현할 수 있어야 함.이를 벡터 공간을 생성(s..

[Math] Inner Product (or Hermitian Inner Product, 내적)

Inner product (내적)은 vectoer space이나 function space에서 두 대상 간의 relationship(관계)를 나타내는 operation(연산). 다음의 세 가지 성질을 만족할 때 Inner Product라 부르며, 이를 통해두 벡터나 함수 간의simmilarity(유사성 ~ 사이각),orthogonality(직교성) 등을 평가할 수 있음.Inner Prodcut 의 성질 (or Definition)1. 선형성(Linearity):Inner product는 첫 번째 항에 대해 스칼라 곱에 대해 선형성을 가져야 합니다.$$\langle af + bg, h \rangle = a \langle f, h \rangle + b \langle g, h \rangle$$여기서$a$와 $..

[SS] Shannon-Nyquist Sampling Theorem

신호의 최대 주파수보다 최소 2배 이상의 샘플링 주파수로 샘플링하면 원래 신호를 완벽하게 복원할 수 있다는 Theorem $$f_\text{sampling} \ge 2f_\text{max}$$where$f_\text{sampling}$ : sampling frequency. sampling rate. Nyquist rate.$f_\text{max}$ : 신호의 최대 주파수.Harry Nyquist 통신 이론에서 특정 대역폭(bandwidth)을 가진 아날로그 신호를 디지털화 (digitization)하기 위해서는최소한 해당 신호의 대역폭의 두 배 이상의 샘플링 주파수가 필요하다는 사실을 발견이때문에 최대 대역폭의 2배인 샘플링 주파수를 Nyquist Sampling Rate (or Sampling Rat..

[Statistics] Tail, Head, and Distribution (w/ Moment)

확률 분포 등에서 헷갈리기 쉬운 tail, head 와 heavy tailed와 light tailed, 그리고 Right skewed 와 Left skewed를 정리.1. Head데이터 분포에서 중심부주로 중앙값(median)의 위치라고 보면 거의 맞음. mean을 사용하기도 하지만, heavy tailed나 skewed의 경우 mean은 적절치 못할 수 있음2. Tail극단적인 값들이 나타나는 끝부분을 의미분포의 양끝에 있는 극단적인 값들로 구성. 3. Heavy-tailed 분포 Heavy-tailed 분포는 꼬리가 두꺼워 극단적인 값들이 자주 발생하는 분포입니다.꼬리가 천천히 0으로 수렴하며, 금융 시장에서의 큰 손실이나 자연 재해와 같은 드물고 극단적인 사건들을 잘 설명.참고oai_citatio..

[SS] Eigenmode, Eigenvector, and System mode

시스템 모드(system mode)는시스템의 고유 모드(eigenmode),즉 시스템의 고유벡터(eigenvector),시스템의 고유함수(eigenfunction)들과 동일한 개념임. 이는 시스템 고유의 response를 결정하는 핵심 요소임. 시스템을 나타내는 differential equation이나 state space(상태 공간) 표현에서고유값(eigenvalue)과 함께 구해짐.System Mode와 Eigen Vector의 관계Eigenvalue:시스템의 Characteristic Equation (특성 방정식)을 풀어서 얻는 값.시스템의 안정성, 응답 속도, 진동 특성 등을 결정.Eigenvector:각 eigenvalue에 대응하는 vector로, 시스템 상태의 변화 방향을 나타냄.시스템의..

[SS] Wavelet Transform

Wavelet 변환: 신호 처리에서의 시간과 주파수의 세밀한 분석Wavelet 변환은 신호 처리와 데이터 분석의 중요한 수학적 도구임. $\sin, \cos$ 을 basis function으로 삼는 Fourier Transform 과 달리Wavelet 변환은평균이 0이고, 시간 및 공간에서 한정된 길이를 가진 파형 함수인 wavelet을 basis function 으로 삼는 변환임.'Wavelet'이라는 용어는 wave+-let 으로 '작은 파동'을 의미함.wave: 파동 / -let: 작다는 의미의 접미사 이 작은 파동들인 wavelet을 basis function으로 삼아 데이터를 분석함으로써,signal의 시간과 주파수 특성을 동시에 포착 할 수 있음.이를 통해 데이터에서 시간에 따른 주파수 변화와..

[Physics] Luminescence (발광) 의 종류

1. 발광(Luminescence)의 정의와 특성:열 방출 이외의 방법으로 물질이 빛을 방출하는 현상을 총칭하는 용어임.물질이 에너지를 흡수하고 이를 빛의 형태로 방출하는 과정을 포함함.발광의 강도, 파장, 지속 시간은 물질의 특성과 에너지 흡수 방식에 따라 다양하게 나타남.열방출(Thermal emission): 물체의 온도에 의해 발생하는 전자기 복사임. 발광(Luminescence): 열 이외의 다른 형태의 에너지가 빛으로 전환되는 현상임.열방출(thermal emission)을 좀더 넓게 표현하면 열복사(thermal radiation)에 해당함. 이들의 관계는 다음과 같음.열방출: 물체가 열에너지를 전자기파의 형태로 방출하는 현상을 주로 지칭함.열복사: 열방출을 포함하며, 열에너지의 전파 과정 ..

[Physics] Units in Optics

광학에서의 기본 단위의 이해스테라디안 (Steradian, sr)스테라디안은 3차원 각도(입체각, 공간각)의 단위구면의 공간각(Solid Angle, 입체각)을 측정하는 데 사용됨.반지름 ( $r$ )인 구의 전체 표면적은 ( $4\pi r^2$ )이며,이 전체 구면에서 1 스테라디안은  $r^2$ 의 면적에 해당하는 solid angle을 가리킴.즉, 1 스테라디안은 구의 중심에서 볼 때, 구의 표면에 반지름의 제곱과 같은 면적을 가리키는 각도인 것임.2D에서의 radian과 유사함. 광속 (Luminous Flux, lm)광속(Luminous flux)은 광원(light source)에서 단위 시간 동안 방출되는 가시광선의 총량을 나타내는 것으로, '루멘(lm)'으로 측정됨. 루멘의 단위는 광도(Lu..

[LA] Spectral Theorem for Symmetric Matrix

symmetric matrix(대칭 행렬)에 대한 spectral theorem은Symmetric matrix에서 유용한 성질을 정리하고 있음.symmetric matrix를eigen vector $\mathbf{e}_i$각각의 outer product의 결과물인 rank-1 matrix ($=\mathbf{e}_1\mathbf{e}_1^\top$)들을eigen vector를 구할 때, $\|\mathbf{e}_i\|=1$로 normalization이 되도록 $\mathbf{e}_i, \lambda_i$구함.대응하는 eigen value $\lambda_i$로 weighted sum으로분해하여 바라볼 수 있도록 해줌 (Spectral Decomposition)Spectral decomposition은Sy..

[Math] Algebraic Properties

Algebraic properties는수학적 구조 내에서 operation(연산)이 어떻게 작용하는지 설명하는 규칙과 법칙들을 의미다음과 같은 3가지 종류가 있음.Commutative Property (교환법칙)동의어: commutative law, commutative, commutativity operand의 순서가 바뀌어도 equaility 가 성립. 다음은 commutative가 성립하지 않는 경우를 지칭하는 용어임.non-commutative, anti-commutativity예를 들면, Vector addition의 경우를 들 수 있음.$$\mathbf{a}+\mathbf{b} = \mathbf{b}+\mathbf{a}$$Associative Property (결합법칙)동의어: associat..