Convolution

[SS] Impulse Response란 :

System의 impulse response는 다음을 의미한다. System의 input이 impluse signal인 경우의 output을 해당 system의 impulse response라고 한다. LTI system에서 출력(정확히는 zero-state response)은 impulse response와 input signal의 convolution으로 표현 가능. LTI System에서의 Impulse response의 의미. LTI System의 impulse response를 파악했다면 다음이 성립함. System의 동작을 이해함. (정확히는 initial condition이 0인 경우의) System의 output 생성 메카니즘을 알 수 있음. 임의의 input signal과 impulse ..

[SS] Causal LTI System and Convolution

LTI system이 causal인 경우, impulse response $h(\tau)$는 $\taut$일 때 값이 0임. 때문에 Causal LTI System의 출력을 구하는 Convolution의 범위는 $(-\infty, \infty)$를 모두 처리할 필요 없음. 즉, $h(\tau)$와 $x(t-\tau)$의 곱이 값을 가지는 영역만 고려하면 된다.

[SS] Convolution Example : Pulse Function

Pulse function $f(t)$ (blue)와 $g(t)$ (red)의 convolution을 보여주는 gif임. $g(t)$를 reflection시킨 후 slide을 시킴. 검은색 라인이 바로 $(f*g)(t)$의 결과를 보여줌. 둘다 unit pulse이므로 convolution의 결과는 노란색으로 표기된 겹치는 부분의 넓이가 됨. $$(f*g)(t) = \int^\infty_{-\infty} f(\tau) g(t-\tau) d\tau$$ 1. $t=-1$ 일 때 겹치기 시작하므로 이후 $(f*g)(t)$의 값이 0 보다 커짐. 2. $t=0$ 일 때 $g(t-\tau)$와 $f(\tau)$가 정확히 일치하므로 가장 큰 $(f*g)(t)$의 값을 가짐. 3. 이후 겹치는 영역이 줄어들므로 $(..

[SS] Convolution Op.에서 교환법칙 증명.

$$\begin{aligned}y(t)&=x(t)*h(t)\\&=\int^\infty_{-\infty}x(\tau)h(t-\tau)d\tau \\ &=- \int^{-\infty}_\infty x(t-l)h(l) dl \quad\quad \leftarrow l=t-\tau \\ &=- \int^{-\infty}_\infty h(l) x(t-l)dl \\&=\int^{\infty}_{-\infty} h(l) x(t-l)dl\\&=\int^{\infty}_{-\infty} h(l) x(t-l)dl \quad\quad \leftarrow l\text{을 }\tau\text{로 표기 변경} \\ &=\int^{\infty}_{-\infty} h(\tau) x(t-\tau)d\tau \\&=h(t)*x(t)\en..

[SS] Output of LTI System : Convolution with Impulse Response

LTI System $T$를 다음과 같은 수식으로 나타낼 수 있다고 하자. $$y(t) = T\left\{x(t)\right\}$$ where $x(t)$ : input signal에 해당하는 function. $y(t)$ : output signal에 해당하는 function. 여기서, sifting property에 의해 impulse function들의 weighted sum으로 $x(t)$를 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$x(t)=\int^\infty_{-\infty}x(\tau)\delta(t-\tau)d\tau$$ 2023.08.21 - [.../Signals and Systems] - [SS] Properties of Impulse Function [SS] Properties of Imp..

[SS] Discrete Convolution (Linear Discrete Convolution)

Convolution은 linear time invariant (LTI) system에서 zero-state response를 구하는데 사용되는 연산임. DIP 등에서는 Linear Shift Invariant (LSI) system에서의 output image를 구하는데 사용되며, 주로 spatial domain filter들을 직접 spatial domain에서 구하는데 사용됨 (box filter, sobel filter등등) DFT (Discrete Fourier Transform)에서는 실제로 cyclic convolution이 이루어지나, 여기선 linear convolution에 초점을 맞춘다. 더보기 cyclic convolution(or circular convolution)은 다음을 참..