증명1보통 $a>0$ 가정$$x(t)=u(t)-u(t-a)=\begin{cases}1,& 0\le t0,& \text{그 외}\end{cases}$$이와 같으므로 unilateral transform 은$$\mathcal{L}[x(t)]= \int_{0}^{\infty} e^{-st}\big[u(t)-u(t-a)\big] dt= \int_{0}^{a} e^{-st} dt$$구간 외에는 0 임.$\operatorname{Re}(s)>0$에서$$\int_{0}^{a} e^{-st} dt= \left[\frac{e^{-st}}{-s}\right]_{0}^{a}= \frac{1-e^{-as}}{s}.$$위에 의해 다음이 성립$$\boxed{\;\mathcal{L}[u(t)-u(t-a)]=\dfrac{1-e^{-..

1. Laplace Transform의 정의One-sided(unilateral) Laplace transform은 다음과 같이 정의:$$\mathcal{L}[f(t)] = \int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t)\, dt$$where,$s = \sigma + j\omega$2. $f(t) = 1$을 대입$$\mathcal{L}[1] = \int_{0}^{\infty} e^{-st}\, dt$$3. 적분 계산이 적분은 지수함수의 무한 적분임.때문에 수렴 조건을 먼저 확인하여 ROC를 구함.$\operatorname{Re}(s) > 0$ 일 때만 수렴.적분을 계산하면:$$\int_{0}^{\infty} e^{-st}\, dt = \left[ \frac{e^{-st}}{-s} \right]_{..

Lorentzian 함수(로렌츠 함수)는 물리학과 신호처리, 특히 공명(resonance)과 푸리에 변환에서 자주 등장하는 함수.1. DefinitionLorentzian function 또는 Cauchy distribution function은 다음과 같이 정의됨:$$L(x; x_0, \gamma) = \frac{1}{\pi}\frac{\gamma}{(x - x_0)^2 + \gamma^2}$$where,$x_0$: 중심(center). 주로 0으로 사용되는 경우도 많음.$\gamma$ > 0: 반치폭(half width at half maximum, HWHM)전체 면적 $\int_{-\infty}^{\infty} L(x),dx = 1$다음과 같이 $\frac{1}{\pi}$를 제거하고 $x_0=0$..

Parseval's Theorem은 에너지 보존을 의미함:주파수 도메인에서 표현하는 경우나시간 도메인에서 표현하는 경우나에너지는 변화가 없음을 의미함.다른 이름으로 Energy Theorem 또는 Rarseval's Relation 이라고도 부름.2023.06.16 - [.../Signals and Systems] - [SS] Signal의 정량적 특성 [SS] Signal의 정량적 특성Signal을 수학적으로 보통 function으로 나타내는 것처럼,해당 "signal"의 크기를 정량화 하는 것들을 signal의 정량적 특성 또는 정량적 표현이라고 할 수 있다.vector의 크기를 나타내는 것 : length (=L-2 nodsaint31.tistory.comAsymmetric Fourier Trans..

Exponential Fourier SeriesTrigonemetric Fourier Series의 일반형에서 같은 주파수 $k\Omega_0$를 공유하는 sin과 cos 항을Complex Exponential Term으로 다음과 같이 변경가능함.이는 sin 항과 cos 항의 coefficient를 따로 구하던 방식과 달리,모든 항이 complex exponential term의 동일한 형태를 가지게 됨.주파수의 관점에선 harmonic의 주파수가 fundamental frequency의 양수배($k>0$)로 구성되던 Trigonemetric Fourier Series에서Complex Exponential Fourier Series로 바꾸면서 positive term과 negative term을 가지도록..

삼각함수로 Fourier Series를 나타내면 다음의 장단점을 가짐:모든 Fourier Series Coefficient가 실수임.3종류를 구해야함: $a_0, a_k, b_k$ (이 단점으로 인해 주로 complex exponential로 표현한다)Trigonometric Fourier seriesTrigonometric function의 weighted sum (=linear combination)으로 periodic function을 나타낼 수 있음.$$\tilde{x}(t)=a_0 + \displaystyle \sum^\infty_{k=1} \left[ a_k \cos k\Omega_0 t + b_k \sin k\Omega_0 t \right]$$$\Omega_0$ 는 fundamental fr..