Harmonic 이란?harmonic 은 periodic signal 을 구성하는 기본 요소로서,Fundamental Frequency (기본 주파수, $\Omega_0$) 의 정수배에 해당하는 주파수 성분, $k\Omega_o (k \text{ is int})$을 의미. 2023.06.16 - [.../Signals and Systems] - [SS] Periodic Signal (주기신호) [SS] Periodic Signal (주기신호)Periodic Singal정의Signal이 일정한 간격($T$, period, 주기)을 가지고 값과 형태가 동일하게 반복되는 경우, 해당 signal을 주기성(periodicity)을 가진다고 하고 periodic signal이라고 칭함.aperiodic signa..

Fourier SeriesFourier Series는periodic signal (주기함수로 표시됨)을해당 signal의 fundamental frequency(기본주파수, $\Omega_0=\frac{2\pi}{T}$)의 정수배 frequency를 가진 harmonics를 basis로 삼아이들을 각각의 amplitude와 phase를 적절히 조절(=Fourier Series Coefficient를 조절)하고,이들을 더함(series)으로서 표현하는 방법임.더보기2024.10.28 - [.../Math] - [Math] Basis [Math] Basis기저(Basis)는 vector space (또는 function space) 에서 모든 요소(Element)를 나타내기 위해 필요한 최소한의 (선형)독립..

input signal: $x(t) = 10 e^{-3t} u(t)$initial condition: $y(0^-) = 0, y^\prime(i^-) = 0$8. differential equation9. frequency response10. transfer function11. impulse response12. zero input response and zero state response 8-11: https://youtu.be/3pgvBgIf99k 12: https://youtu.be/RWDLd5aplak

$t^n e^{-at}$의 Laplace Transform$$\mathcal{L} (t^n e^{-at}) = \int_0^\infty t^n e^{-at} e^{-st} dt = \frac{n!}{(s+a)^{n+1}} $$위 적분을$s^\prime = s + a$ 로 치환하고Gamma function을 이용한 지수 함수와 $t^n$의 적분공식을 활용하여 증명증명:$$\mathcal{L} (t^n e^{-at}) = \int_0^\infty t^n e^{-(s+a)t} dt$$ 여기서 $s^\prime = s + a$로 치환.$$s^\prime = s + a \quad \Rightarrow \quad s = s^\prime - a$$ 위 적분식은 다음과 같이 변경됨.$$\int_0^\infty t^n ..

$e^{-at}$의 Laplace Transform$$\mathcal{L}(e^{-at}) = \int_0^\infty e^{-at} e^{-st} , dt$$증명:$$\mathcal{L}(e^{-at}) = \int_0^\infty e^{-(s+a)t} , dt$$ 여기서 $s^\prime = s + a$로 치환$$s^\prime = s + a \quad \Rightarrow \quad s = s^\prime - a$$ 따라서, 적분식은 다음과 같이 변경됨.$$\int_0^\infty e^{-(s+a)t} dt = \int_0^\infty e^{-s't} dt$$ 이제 $\int_0^\infty e^{-s^\prime t} dt$를 계산함. 이는 $s^\prime > 0$ 일 때 다음과 같음:$$\in..

1. Covolution의  FT: Multiplication$$x(t) \leftrightarrow X(\Omega), \quad h(t) \leftrightarrow H(\Omega) \\ h(t) * x(t) \leftrightarrow H(\Omega) X(\Omega)$$1-1. 증명:$$\begin{aligned}&\int_{-\infty}^\infty [x(t) * h(t)] e^{-j\Omega t} dt\\&= \int_{-\infty}^\infty \left[ \int_{-\infty}^\infty x(\tau) h(t-\tau) d\tau \right] e^{-j\Omega t} dt\\&= \int_{-\infty}^\infty x(\tau) \left[ \int_{-\infty}^..