0. Laplace Transform의 정의$$\mathcal{L}[x(t)]= \int_{0^-}^{\infty} x(t) e^{-st} dt$$1. 변환할 함수인 shifted impulse 대입$$x(t) = \delta(t-a)$$대입하면$$X(s)=\int_{0^-}^{\infty} \delta(t-a) e^{-st} dt$$ $\delta$의 위치가 적분 범위 안에 있는지 확인해야 적분의 값이 구해지는데, Laplace 적분의 구간은 다음과 같음:$$0^- \le t 즉, $a>0$이면 $\delta(t−a)$는 이 구간 안에 존재하므로, 적분값은 0이 되지 않음.2. $\delta$의 sifting 성질을 적용하기 위한 준비Dirac delta의 기본 성질: sifting property ..

z-Transform 은 Laplace Transform의 Discrete Version임 이 글은 이를 유도해본다.1. 연속시간 Laplace Transform의 기본 구조연속시간 신호 $x(t)$에 대해 Lapalce Transform은 다음과 같음.$$X(s) = \int_{0}^{\infty} x(t) e^{-st} dt$$복소지수항 $e^{-st}$ 을 사용함.2. 샘플링을 통한 이산신호 표현샘플링 주기 $T$에서 얻는 이산신호는 $x[n] = x(nT)$ 로 정의됨이산신호를 연속시간에서 표현하면 shifted impulse들의 가중합 이 됨.$$x_s(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]\delta(t-nT)$$3. 샘플링된 신호의 Laplace Transform 계..

증명1보통 $a>0$ 가정$$x(t)=u(t)-u(t-a)=\begin{cases}1,& 0\le t0,& \text{그 외}\end{cases}$$이와 같으므로 unilateral transform 은$$\mathcal{L}[x(t)]= \int_{0}^{\infty} e^{-st}\big[u(t)-u(t-a)\big] dt= \int_{0}^{a} e^{-st} dt$$구간 외에는 0 임.$\operatorname{Re}(s)>0$에서$$\int_{0}^{a} e^{-st} dt= \left[\frac{e^{-st}}{-s}\right]_{0}^{a}= \frac{1-e^{-as}}{s}.$$위에 의해 다음이 성립$$\boxed{\;\mathcal{L}[u(t)-u(t-a)]=\dfrac{1-e^{-..

1. Laplace Transform의 정의One-sided(unilateral) Laplace transform은 다음과 같이 정의:$$\mathcal{L}[f(t)] = \int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t)\, dt$$where,$s = \sigma + j\omega$2. $f(t) = 1$을 대입$$\mathcal{L}[1] = \int_{0}^{\infty} e^{-st}\, dt$$3. 적분 계산이 적분은 지수함수의 무한 적분임.때문에 수렴 조건을 먼저 확인하여 ROC를 구함.$\operatorname{Re}(s) > 0$ 일 때만 수렴.적분을 계산하면:$$\int_{0}^{\infty} e^{-st}\, dt = \left[ \frac{e^{-st}}{-s} \right]_{..

Lorentzian 함수(로렌츠 함수)는 물리학과 신호처리, 특히 공명(resonance)과 푸리에 변환에서 자주 등장하는 함수.1. DefinitionLorentzian function 또는 Cauchy distribution function은 다음과 같이 정의됨:$$L(x; x_0, \gamma) = \frac{1}{\pi}\frac{\gamma}{(x - x_0)^2 + \gamma^2}$$where,$x_0$: 중심(center). 주로 0으로 사용되는 경우도 많음.$\gamma$ > 0: 반치폭(half width at half maximum, HWHM)전체 면적 $\int_{-\infty}^{\infty} L(x),dx = 1$다음과 같이 $\frac{1}{\pi}$를 제거하고 $x_0=0$..

Parseval's Theorem은 에너지 보존을 의미함:주파수 도메인에서 표현하는 경우나시간 도메인에서 표현하는 경우나에너지는 변화가 없음을 의미함.다른 이름으로 Energy Theorem 또는 Rarseval's Relation 이라고도 부름.2023.06.16 - [.../Signals and Systems] - [SS] Signal의 정량적 특성 [SS] Signal의 정량적 특성Signal을 수학적으로 보통 function으로 나타내는 것처럼,해당 "signal"의 크기를 정량화 하는 것들을 signal의 정량적 특성 또는 정량적 표현이라고 할 수 있다.vector의 크기를 나타내는 것 : length (=L-2 nodsaint31.tistory.comAsymmetric Fourier Trans..