.../Signals and Systems

[SS] Fourier Transform : Frequency Shifting

어떤 성질인가? $$x(t)e^{j\Omega_0}t \leftrightarrow X(\Omega-\Omega_0)$$ $x(t)$ : time domain function $X( \Omega)$ : Fourier representation, Foruier Transform $\Omega_0$ : Frequency Shift (constant) Frequency Domain에서 $\Omega_0$ 만큼 shifting 시킬 경우, Time Domain에서는 $e^{j\Omega_0}t$가 곱해지게 된다. 증명 $$\begin{aligned} \frac{1}{2\pi} \displaystyle \int^\infty_{-\infty} X(\Omega - \Omega_0)e^{j\Omega}t d\Omega ..

[SS] DFT에서 Aliasing을 피하기 위한 N은?

Signal을 sampling할 경우, sample의 갯수 $N$를 제한 (= signal의 길이가 제한)할 경우, 대응하는 spectrum에서 aliasing이 발생하게 됨 (신호의 측정시간이 고정된 경우 $N$을 클수록 보다 높은 주파수 성분을 획득할 수 있음.) signal에서 원하는 주파수대역 내에서는 aliasing이 일어나지 않도록 하는 것이 최선임. $N$을 크게 증가시킬수록 specturm이 중첩되는 부분은 줄어든다. 단, 이 경우 샘플의 수가 늘어나서 계산량이나 저장공간 등이 늘어나는 등의 단점이 있으므로 적절한 길이 $N$이 필요함. 일반적으로 적당한 $N$을 선택하고, 신호의 반복주기의 완충지대 역할을 하도록 zero-padding을 수행한다. zero-padding의 경우, spec..

[SS] Fourier Analysis : 4가지 Fourier Transform 비교

Fourier representation(표현)!! signal을 frequency와 대응관계인 (complex)sinusoidal signal(복소정현파)의 weighted sum 으로 표현 달리 말하면 (complex)sinusoidal signal을 basis function으로 삼아 이들의 linear combination으로 표현 periodic signal은 discrete spectrum, aperiodic signal은 continuous spectrum을 가짐 periodic signal의 spectrum은 aperiodic signal의 spectrum의 샘플 값 (샘플링한 것)에 대응 continuous signal의 spectrum은 비주기, discrete signal의 spect..

[SS] Discrete Fourier Transform (DFT)

DTFT 의 한계와 DFT의 등장. DTFT는 time domain의 continuous signal $x(t)$를 discrete signal $x[n]$으로 바꾼 경우에 대한 Fourier Transform으로 CTFT에 time domain에서의 sampling을 고려한 확장이라고 볼 수 있다. 우선, DTFT의 공식은 다음과 같다. $$\begin{aligned}X(e^{j\omega})&=\sum^\infty_{n=-\infty} x[n] e^{-j\omega n} & \text{DTFT} \\ x[n]&=\dfrac{1}{2\pi}\int_{} X(e^{j\omega }) e^{j\omega n }d\omega & \text{IDTFT} \end{aligned}$$ 하지만 다음과 같은 한계를 ..

[SS] Discrete Time Fourier Transform

DTFT는 Discrete signal $x[n]$을 위한 Fourier Transform 으로 continuous signal에 대한 Fourier Transform $X(\Omega)$과 구분하기 위해 $X(e^{j\omega})$ (= $X(\omega)$)로 표기함. Continuous signal $x(t)$를 $T$ 간격으로 sampling을 하고 얻은 $x_s(t)=x_s(nT)=x[n]$으로부터 impulse train의 CTFT와 $x_s(nT)=x[n]$을 이용하여 유도가능함. $$X(\Omega) = \int^\infty_{t=-\infty}x(t)e^{-j\Omega t}dt \quad \text{CTFT} \\ X(e^{j\omega})=\sum^\infty_{n=-\infty} ..

[SS] Discrete Sinusoidal Function : $2\pi$ 주기성

Frequency domain에서의 signal (or function)의 representation (표현)의 경우, Basis(기저)로 특정 Frequency(주파수)에 대응되는 periodic function을 사용한다. 대표적으로, Fourier Transform의 경우, sinusoidal function이 사용됨. sinusoidal function이 discrete 해지는 경우, 주기성을 가지기 위해선 제한 조건이 발생한다. Continuous sinusoidal function은 항상 주기함수이지만, Discrete sinusoidal function은 그렇지 않다. 주기성을 가지려면 결론을 먼저 말하면, Discrete sinusoidal function이 주기성을 가지기 위해선 Freq..