.../Signals and Systems

[SS] Shannon-Nyquist Sampling Theorem

신호의 최대 주파수보다 최소 2배 이상의 샘플링 주파수로 샘플링하면 원래 신호를 완벽하게 복원할 수 있다는 Theorem $$f_\text{sampling} \ge 2f_\text{max}$$where$f_\text{sampling}$ : sampling frequency. sampling rate. Nyquist rate.$f_\text{max}$ : 신호의 최대 주파수.Harry Nyquist 통신 이론에서 특정 대역폭(bandwidth)을 가진 아날로그 신호를 디지털화 (digitization)하기 위해서는최소한 해당 신호의 대역폭의 두 배 이상의 샘플링 주파수가 필요하다는 사실을 발견이때문에 최대 대역폭의 2배인 샘플링 주파수를 Nyquist Sampling Rate (or Sampling Rat..

[SS] Eigenmode, Eigenvector, and System mode

시스템 모드(system mode)는시스템의 고유 모드(eigenmode),즉 시스템의 고유벡터(eigenvector),시스템의 고유함수(eigenfunction)들과 동일한 개념임. 이는 시스템 고유의 response를 결정하는 핵심 요소임. 시스템을 나타내는 differential equation이나 state space(상태 공간) 표현에서고유값(eigenvalue)과 함께 구해짐.System Mode와 Eigen Vector의 관계Eigenvalue:시스템의 Characteristic Equation (특성 방정식)을 풀어서 얻는 값.시스템의 안정성, 응답 속도, 진동 특성 등을 결정.Eigenvector:각 eigenvalue에 대응하는 vector로, 시스템 상태의 변화 방향을 나타냄.시스템의..

[SS] Wavelet Transform

Wavelet 변환: 신호 처리에서의 시간과 주파수의 세밀한 분석Wavelet 변환은 신호 처리와 데이터 분석의 중요한 수학적 도구임. $\sin, \cos$ 을 basis function으로 삼는 Fourier Transform 과 달리Wavelet 변환은평균이 0이고, 시간 및 공간에서 한정된 길이를 가진 파형 함수인 wavelet을 basis function 으로 삼는 변환임.'Wavelet'이라는 용어는 wave+-let 으로 '작은 파동'을 의미함.wave: 파동 / -let: 작다는 의미의 접미사 이 작은 파동들인 wavelet을 basis function으로 삼아 데이터를 분석함으로써,signal의 시간과 주파수 특성을 동시에 포착 할 수 있음.이를 통해 데이터에서 시간에 따른 주파수 변화와..

[SS] Fourier Transform : Frequency Shifting

어떤 성질인가? $$x(t)e^{j\Omega_0}t \leftrightarrow X(\Omega-\Omega_0)$$ $x(t)$ : time domain function $X( \Omega)$ : Fourier representation, Foruier Transform $\Omega_0$ : Frequency Shift (constant) Frequency Domain에서 $\Omega_0$ 만큼 shifting 시킬 경우, Time Domain에서는 $e^{j\Omega_0}t$가 곱해지게 된다. 증명 $$\begin{aligned} \frac{1}{2\pi} \displaystyle \int^\infty_{-\infty} X(\Omega - \Omega_0)e^{j\Omega}t d\Omega ..

[SS] DFT에서 Aliasing을 피하기 위한 N은?

Signal을 sampling할 경우, sample의 갯수 $N$를 제한 (= signal의 길이가 제한)할 경우, 대응하는 spectrum에서 aliasing이 발생하게 됨 (신호의 측정시간이 고정된 경우 $N$을 클수록 보다 높은 주파수 성분을 획득할 수 있음.) signal에서 원하는 주파수대역 내에서는 aliasing이 일어나지 않도록 하는 것이 최선임. $N$을 크게 증가시킬수록 specturm이 중첩되는 부분은 줄어든다. 단, 이 경우 샘플의 수가 늘어나서 계산량이나 저장공간 등이 늘어나는 등의 단점이 있으므로 적절한 길이 $N$이 필요함. 일반적으로 적당한 $N$을 선택하고, 신호의 반복주기의 완충지대 역할을 하도록 zero-padding을 수행한다. zero-padding의 경우, spec..

[SS] Fourier Analysis : 4가지 Fourier Transform 비교

Fourier representation(표현)!! signal을 frequency와 대응관계인 (complex)sinusoidal signal(복소정현파)의 weighted sum 으로 표현 달리 말하면 (complex)sinusoidal signal을 basis function으로 삼아 이들의 linear combination으로 표현 periodic signal은 discrete spectrum, aperiodic signal은 continuous spectrum을 가짐 periodic signal의 spectrum은 aperiodic signal의 spectrum의 샘플 값 (샘플링한 것)에 대응 continuous signal의 spectrum은 비주기, discrete signal의 spect..

[SS] Discrete Fourier Transform (DFT)

DTFT 의 한계와 DFT의 등장. DTFT는 time domain의 continuous signal $x(t)$를 discrete signal $x[n]$으로 바꾼 경우에 대한 Fourier Transform으로 CTFT에 time domain에서의 sampling을 고려한 확장이라고 볼 수 있다. 우선, DTFT의 공식은 다음과 같다. $$\begin{aligned}X(e^{j\omega})&=\sum^\infty_{n=-\infty} x[n] e^{-j\omega n} & \text{DTFT} \\ x[n]&=\dfrac{1}{2\pi}\int_{} X(e^{j\omega }) e^{j\omega n }d\omega & \text{IDTFT} \end{aligned}$$ 하지만 다음과 같은 한계를 ..

[SS] Discrete Time Fourier Transform

DTFT는 Discrete signal $x[n]$을 위한 Fourier Transform 으로 continuous signal에 대한 Fourier Transform $X(\Omega)$과 구분하기 위해 $X(e^{j\omega})$ (= $X(\omega)$)로 표기함. Continuous signal $x(t)$를 $T$ 간격으로 sampling을 하고 얻은 $x_s(t)=x_s(nT)=x[n]$으로부터 impulse train의 CTFT와 $x_s(nT)=x[n]$을 이용하여 유도가능함. $$X(\Omega) = \int^\infty_{t=-\infty}x(t)e^{-j\Omega t}dt \quad \text{CTFT} \\ X(e^{j\omega})=\sum^\infty_{n=-\infty} ..

[SS] Discrete Sinusoidal Function : $2\pi$ 주기성

Frequency domain에서의 signal (or function)의 representation (표현)의 경우, Basis(기저)로 특정 Frequency(주파수)에 대응되는 periodic function을 사용한다. 대표적으로, Fourier Transform의 경우, sinusoidal function이 사용됨. sinusoidal function이 discrete 해지는 경우, 주기성을 가지기 위해선 제한 조건이 발생한다. Continuous sinusoidal function은 항상 주기함수이지만, Discrete sinusoidal function은 그렇지 않다. 주기성을 가지려면 결론을 먼저 말하면, Discrete sinusoidal function이 주기성을 가지기 위해선 Freq..

[SS] Poles and Zeros: Impulse Response and Frequency Response

Pre-requiredmentsRegion of Convergence (ROC)Laplace Transform의 ROC는 다음과 같은 특징을 가짐.유한한 구간내에 존재하며 발산하지 않는 signal :ROC가 모든 s 평면에서 수렴.right-sided signal (어떤 값 이상의 구간에서 존재하는 signal) :ROC가 “경계선” 기준 오른쪽 평면에 위치함 ←unilateral에서 주로 다루는 signal.특정값 이상의 구간에서 signal이 존재하므로 해당 값에 의해 supression 정도를 결정하는 $\sigma$가 결정됨 : "경계선"그리고 특정값 이상의 구간에서 signal이 존재하므로 해당 $\sigma$보다 커야 하며 이는 "경계선" 기준 오른쪽 평면이 ROC가 됨을 의미.left-si..