.../Signals and Systems

[SS] Poles and Zeros : Impulse Response and Frequency Response

Pre-requiredments Region of Convergence (ROC) Laplace Transform의 ROC는 다음과 같은 특징을 가짐. 유한한 구간내에 존재하며 발산하지 않는 signal : ROC가 모든 s 평면에서 수렴. right-sided signal (어떤 값 이상의 구간에서 존재하는 signal) : ROC가 “경계선” 기준 오른쪽 평면에 위치함 ←unilateral에서 주로 다루는 signal. 특정값 이상의 구간에서 signal이 존재하므로 해당 값에 의해 supression 정도를 결정하는 $\sigma$가 결정됨 : "경계선" 그리고 특정값 이상의 구간에서 signal이 존재하므로 해당 $\sigma$보다 커야 하며 이는 "경계선" 기준 오른쪽 평면이 ROC가 됨을 의미..

[SS] Parallel Connection : Transfer Function

Cascade connection이 곱셈인 반면, Parallel transform은 덧셈임. $$H(s)=H_1(s)+H_2(s)+\cdots + H_n(s)\\h(t)=h_1(t)+h_2(t)+\cdots +h_n(t)$$ Example $$\begin{aligned}H(s)&=\frac{2}{s^2+3s+2} \\ &=\frac{A_1}{s+1}\frac{A_2}{s+2}\end{aligned} \\ \quad \\ \left.A_1+\frac{A_2(s+1)}{s+2}\right|_{s=-1}=\left.\frac{2}{s+2}\right|_{s=-1} \\ \therefore A_1=2 \\ \left.A_2+\frac{A_1(s+2)}{s+1}\right|_{s=-2}=\left.\frac{2..

[SS] Cascade Connection : Transfer Function

Transfer function은 impulse response의 Laplace transform이고, time-domain에서의 convolution은 s-domain에서 multiplication이므로 다음이 성립. $$H(s)=H_1(s)H_2(s)\cdots H_n(s)\\ h(t)=h_1(t) * h_2(t)* \cdots * h_n(t)$$ cascade connection의 경우, 전체 시스템의 transfer function은 직렬연결된 서브시스템들의 transfer function들의 곱에 해당함. Example $$\begin{aligned}H(s)&=\frac{s^2-3s+2}{s^3+6s^2+11s+6} \\\\ &=\left(\frac{s-2}{s^2+5s+6}\right)\lef..

[SS] System Representation w/ Laplace Transform

Laplace transform 의 인수분해(factorization) 등을 이용하여 다양한 형태의 구현도(Implementation) 가 가능해짐. Differential Equation and Transfer Function $$\dfrac{d^2y(t)}{dt^2}+a_1\dfrac{dy(t)}{dt}+a_0y(t)=b_2\dfrac{d^2x(t)}{dt^2}+b_1\dfrac{dx(t)}{dt}+b_0x(t)$$ $$s^2Y(s)+a_1sY(s)+a_0Y(s)=b_2s^2X(s)+b_1sX(s)+b_0X(s)$$ $$\Rightarrow (s^2+a_1s+a_0)Y(s)=(b_2s^2+b_1s+b_0)X(s)$$ $$\Rightarrow H(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}=\frac{b_2s..

[SS] Convolution with an shifted impulse

shifted impulse와 convolution은 결국 shifting 연산임 $t_0$로 shifting을 시킨 impulse function $\delta(t-t_0)$과의 convolution은 결국 같은 $t_0$만큼 signal을 shifting하는 것으로 볼 수 있음. $$f(t)*\delta(t-t_0) = f(t-t_0)$$ 증명 $$ \begin{aligned} f(t)* g(t) &= \int^\infty_{-\infty} f(t-\color{red}{\tau}) g(\tau) d \tau \\ f(t)* \delta(t-t_0) &= \int^\infty_{-\infty} f(t-\tau) \delta(\tau - t_0) d \tau \\ &= \int^\infty_{-\inft..

[SS] CTFT Properties : Modulation Theorem

CTFT 에서 Modulation Property란 $x(t)$의 CTFT가 $X(\Omega)$인 경우, $x(t) \cos (\Omega_0 t)$의 CTFT가 다음과 같음을 의미함. $$\mathcal{F}\left[ x(t) \cos (\Omega_0 t)\right] = \frac{1}{2} \left[ X(\Omega-\Omega_0) + X(\Omega+\Omega_0)\right]$$ 추가적으로, $x(t) \sin (\Omega_0 t)$의 CTFT도 다음과 같이 구해짐. $$\mathcal{F}\left[ x(t) \sin (\Omega_0 t) \right] = \frac{1}{2j} \left[ X(\Omega - \Omega_0) - X(\Omega + \Omega_0)\right..