Vector

[Math] Hessian : Summary

이 문서는 Numeartor Layout Convention 을 사용함. Hessian : Summary 2nd order derivative of multivariate functoin. 여기서 multivariate function은 입력은 vector, 출력은 scalar Hessian matrix는 다음과 같음. $$\begin{aligned}H[f](\textbf{x})=H(\textbf{x})&=\left(J\left[\nabla f(\textbf{x})\right]\right)^T\\ &= \begin{bmatrix}\dfrac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} (\textbf{x})& \dfrac{\partial^2 f}{\partial {x_1} \partial{x_2..

[Math] Plane equation : 평면의 방정식

Plane equation은 다음과 같음. $$\textbf{n}^T\textbf{r}_\text{plane}+b_\text{bias}=0$$ where $\textbf{n}$ : normal vector to a plane. $\textbf{r}_{\text{plane}}$ : plane에 속하는 점들의 position vector $b_{\text{bias}}$ : bias. (scalar)임. 그림에서 Point $\textbf{P}$와 $\textbf{P}_0$는 평면 위의 서로 다른 점이며 position vector $\textbf{r}$과 $\textbf{r}_0$로 표현 가능함. $\textbf{n}$은 평면에 대한 normal vector( 평면의 속하는 모든 vector와 orthogo..

[Math] Distance between Point and Plane : 점과 직선의 거리

position vector $\textbf{x}$ (point $Q$)와 $\textbf{n}\cdot \textbf{p}+b=0$을 만족하는 position vector $\textbf{p}$들로 구성되는 평면(plane $P$)과의 거리는 다음과 같음. $$d=\dfrac{|\textbf{n}\cdot\textbf{x}+b|}{\|\textbf{n}\|}$$ where $\|\textbf{n}\|$ : $\textbf{n}$의 L-2 norm (or magnitude, length)임. (엄밀하게 쓰면, $\|\textbf{n}\|_2$) 증명 point $Q$와 plane $P$와의 거리는 plane equation과 projection을 이용하여 구할 수 있음. 2022.05.19 - [.../..

[Math] Definition of Vector Space

Vector space의 정의. Vector space는 아래를 만족하는 non-empty set을 가르킴. vector들을 element로 가지는 nonempty set(집합)임. vector space의 element를 vector라고 부름. 다음과 같은 2개의 연산이 정의됨 addition scalar multiplication 위 두 연산은 다음의 10가지 axioms(공리)를 만족해야함. Vector space $V$에 속하는 모든 $\textbf{u}$, $\textbf{v}$, $\textbf{w}$와, 모든 scalar $c$와 $d$에 대해 다음이 성립. $\textbf{u}$와 $\textbf{v}$의 addition (or sum)은 $\textbf{u}+\textbf{v}$라 표기되..

Vector check

Check NumPy Version import numpy as np np.__version__ 1. 다음에 언급된 Physical Quantity들이 scalar인지 vector인지 고르시오. $20 \text{m}^2$의 넓이 : scalar $10 N$의 힘 : vector 2. 다음 벡터의 L2-Norm(크기)을 구하시오 $\vec{a} = \langle1,0,2\rangle$ $\vec{b}=\langle0,3\rangle$ vec = [[1,0,2],[0,3,0]] L2_norm = np.linalg.norm(vec,axis=1,ord=2) print('2-1:',L2_norm[0],'|np.sqrt(5)',np.sqrt(5)) print('2-2:',L2_norm[1]) 3. 다음을 계산하시..

[Math] Vector (2) : Vector Function

Definition of Vector Function A vector function is simply a function whose codomain(공역) is $\mathbb{R}^n$. In other words, rather than taking on real values, it takes on vector values. We will often use the notation $\vec{v} = \vec{v}(t)$ to denote a vector function. Note: 일반적으로 vector function은 많은 책에서 $\textbf{r}(t)$ 로 표현됨. 이를 수식적으로 표현하면 다음과 같음. $$ \begin{aligned} \vec{v} &= \vec{v}(t) \\ &=\te..