Vector

[CV] Intersection and Ideal Point; Homogeneous Coordinate and Cross Product

Intersection and Ideal Point이 글에서는 homogeneous coordinates(동차 좌표)와 cross product(교차곱)을 이용하여 두 직선의 교점을 찾는 방법을 다룸.또한, 평행한 직선의 경우에 ideal point(이상점)이 나오는 경우도 다룸.두 직선의 교점을 구하는 방법단계별 설명1. Homogeneous Coordinates(동차 좌표):주어진 두 직선을 동차 좌표 $\mathbf{l}_1 = \begin{bmatrix}a_1 & b_1 & c_1\end{bmatrix}^\top$와 $\mathbf{l}_2 = \begin{bmatrix} a_2& b_2 & c_2\end{bmatrix}^\top$로 표현함.2. Cross Product Calculation(교차..

[Math] Hessian: Summary

이 문서는 Numerator Layout Convention 을 사용함.Hessian : Summary 2nd order derivative of multivariable function.여기서 multivariable function은 입력은 vector, 출력은 scalar 인 함수를 의미함: ML에서의 loss function을 생각해 볼 것.Hessian matrix $H[f](\textbf{x})$는 다음과 같음.$$\begin{aligned}H[f](\textbf{x})=H(\textbf{x})&=\left(J\left[\nabla f(\textbf{x})\right]\right)^\top \\ &= \begin{bmatrix}\dfrac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} ..

[Math] Plane equation : 평면의 방정식

Plane equation은 다음과 같음. $$\textbf{n}^T\textbf{r}_\text{plane}+b_\text{bias}=0$$ where $\textbf{n}$ : normal vector to a plane. $\textbf{r}_{\text{plane}}$ : plane에 속하는 점들의 position vector $b_{\text{bias}}$ : bias. (scalar)임. 그림에서 Point $\textbf{P}$와 $\textbf{P}_0$는 평면 위의 서로 다른 점이며 position vector $\textbf{r}$과 $\textbf{r}_0$로 표현 가능함. $\textbf{n}$은 평면에 대한 normal vector( 평면의 속하는 모든 vector와 orthogo..

[Math] Distance between Point and Plane : 점과 직선의 거리

position vector $\textbf{x}$ (point $Q$)와 $\textbf{n}\cdot \textbf{p}+b=0$을 만족하는 position vector $\textbf{p}$들로 구성되는 평면(plane $P$)과의 거리는 다음과 같음. $$d=\dfrac{|\textbf{n}\cdot\textbf{x}+b|}{\|\textbf{n}\|}$$ where $\|\textbf{n}\|$ : $\textbf{n}$의 L-2 norm (or magnitude, length)임. (엄밀하게 쓰면, $\|\textbf{n}\|_2$) 증명 point $Q$와 plane $P$와의 거리는 plane equation과 projection을 이용하여 구할 수 있음. 2022.05.19 - [.../..

[Math] Definition of Vector Space

Vector space의 정의.Vector space는 아래를 만족하는 non-empty set을 가르킴.vector들을 element로 가지는 nonempty set(집합)임.vector space의 element를 vector라고 부름.다음과 같은 2개의 연산이 정의됨additionscalar multiplication위 두 연산은 다음의 10가지 axioms(공리)를 만족해야함.Vector space $V$에 속하는 모든 $\textbf{u}$, $\textbf{v}$, $\textbf{w}$와, 모든 scalar $c$와 $d$에 대해 다음이 성립.$\textbf{u}$와 $\textbf{v}$의 addition (or sum)은 $\textbf{u}+\textbf{v}$라 표기되며 그 결과 ve..

Vector check

Check NumPy Version import numpy as np np.__version__ 1. 다음에 언급된 Physical Quantity들이 scalar인지 vector인지 고르시오. $20 \text{m}^2$의 넓이 : scalar $10 N$의 힘 : vector 2. 다음 벡터의 L2-Norm(크기)을 구하시오 $\vec{a} = \langle1,0,2\rangle$ $\vec{b}=\langle0,3\rangle$ vec = [[1,0,2],[0,3,0]] L2_norm = np.linalg.norm(vec,axis=1,ord=2) print('2-1:',L2_norm[0],'|np.sqrt(5)',np.sqrt(5)) print('2-2:',L2_norm[1]) 3. 다음을 계산하시..

[Math] Vector (2) : Vector Function

Definition of Vector Function A vector function is simply a function whose codomain(공역) is $\mathbb{R}^n$. In other words, rather than taking on real values, it takes on vector values. We will often use the notation $\vec{v} = \vec{v}(t)$ to denote a vector function. Note: 일반적으로 vector function은 많은 책에서 $\textbf{r}(t)$ 로 표현됨. 이를 수식적으로 표현하면 다음과 같음. $$ \begin{aligned} \vec{v} &= \vec{v}(t) \\ &=\te..

[Math] Vector (1)

Scalar오직 magnitude(크기)만을 가지는 물리량.숫자 하나.ndim=0, rank=0Vectormagnitude와 direction을 가지는 물리량.ordered list of numbers.ndim=1, rank=1로 vector가 표현됨. : vector는 다차원 vector space의 특정 point를 가르키는데 사용됨.zero vector모든 component(성분)의 값이 0인 vector차원 (Dimension)Vector의 component의 수.$\langle 1,2,3 \rangle$는 3차원 vector space에 속하는 요소를 나타냄.전치 (Transpose)row와 column이 교환됨. row vector의 transpose는 column vector.$\vec{x}..