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[SS] System 표현하기 : Impulse Response vs. Differential Equation

System 이란? System은 하나의 신호를 다른 신호로 매핑(mapping) 또는 변형(transform)하는 규칙 System 표현 (기술, representation) 이를 기술하는 가장 좋은 방법은 다음 두가지임. impulse response (h) 를 이용한 표현 impulse response (h) 가 주어질 경우, convolution을 이용하여 (zero-state) output signal을 구할 수 있음. 외부 입력(=impulse)에 대한 system response 제공(=zero-state response). 입력이 인가되기 전의 system 내부 상태에 의한 system response(=zero-input response)는 알 수 없음. differential equat..

[SS] BIBO Stable System

input과 output으로 나타낸 stable system Bounded Input Bounded Output (BIBO) stable system 이란? 제한된 input이 입력되면 제한된 output의 출력을 보장하는 stable system. 수식으로 보면 input과 output이 다음을 만족함. $$\begin{matrix} |x(t)| \le B, & \text{for all }t \\ |y(t)| \le C, & \text{for all }t \end{matrix}$$ where, $B, C$ : fixed positive finite value (=finite positive constant). $|x(t)|$ : $x(t)$의 magnitude. absolute value를 주로 사용...

[SS] Feedback Connection

Feedback Connection (궤한연결)의 경우 뒷단시스템($h_2(t)$를 impulse response로 가짐)의 출력이 다시 앞단시스템 ($h_1(t)$를 impulse response로 가짐)의 입력으로 feedback(되먹임)됨 Feedback Connection의 경우, positive feedback 과 negative feedback으로 구분됨. 일반적으로 작은 signal 변화를 증폭하고자 하는경우 positive feedback을 일종의 항상성 (homeostatsis와 같은)을 원하는 경우 negative feedback이 사용됨.

[SS] Parallel Connection

입력이 $x(t)$이고 최종출력이 $y(t)$인 parallel connection의 diagram은 다음과 같음. $h_1(t)$과 $h_2(t)$는 subsystem1과 subsystem2의 impulse response임. $y_1(t)$과 $y_2(t)$는 subsystem1과 subsystem2의 output임. 위와 같은 parallel connection system에서 impulse function이 입력되면 다음을 만족함. $x(t)=\delta(t)$ $y_1(t)=h_1(t)$ $y_2(t)=h_2(t)$ $y(t)=h(t)=h_1(t)+h_2(t)$ 즉, parallel connection의 경우 각 subsystem의 impulse response를 더함으로서 최종 impulse ..

[SS] Cascade Connection

입력이 $x(t)$이고 최종출력이 $y_2(t)$, 중간 출력이 $y_1(t)$인 cascade connection의 diagram은 다음과 같음. $h_1(t)$과 $h_2(t)$는 subsystem1과 subsystem2의 impulse response임. 입력이 impulse인 경우, 다음이 성립함. $x(t)=\delta(t)$ $y_1(t)=h_1(t)$ $y_2(t)=y_1(t)*h_2(t)=h_1(t)*h_2(t)$ 즉, subsystem1과 subsystem2의 cascade connetion을 큰 하나의 system으로 볼 수 있고, 이 경우 impulse response는 $h(t)=h_1(t)*h_2(t)$가 성립함. Subsystem들의 impulse response의 convolu..

[SS] Differential Equation and Response (zero-input, zero-state, natural, forced) w/ Laplace Transform

Laplace Transform을 이용한 Differential Equation을 풀기. 문제 다음 미분방정식 의 시스템이 있다고 하자. $$ \frac{d^2 y(t)}{dt^2} + 3\frac{dy(t)}{dt}+2y(t)=\frac{dx(t)}{dt} $$ 아래와 같은 입력과 초기조건에서 zero-state response (초기조건이 0.) zero-input response (input이 0.) natural response (system mode만으로 구성.) forced response (input signal에만 의한 항으로 구성.) 를 구하라. input signal $$ x(t)=t^2+5t $$ initial conditions $$ y(0^-)=2 \\ \frac{dy(0^-)}{..

[SS] Differential Equation : 1st Canonical Form

Differential Equation은 3가지의 subsystem을 조합하여 구현할 수 있음. 1. adder : 흔히 입력이 2개의 signal이고 출력은 두 입력 singal들을 더한 signal임. 2. multiplier : scalar mulitplier로 승수가 scalar인 곱셈기. 입력 singal을 상수배하여 출력. 해당 상수배는 사전에 지정됨 3. integrator : 적분기로 적분이 수행되어 나옴. 입력이 $\dfrac{dx(t)}{dt}$ 인 경우, 출력이 $x(t)$로 적분되어 나옴. 위의 3가지 조합으로 differential equation을 기계적으로 표현하는 방법을 canonical form이라고 부르는데, 이 문서는 그중에서 1st canonical form (다른 이..

[SS] Differential Equation : 2nd Canonical Form

다음과 같은 미분 방정식을 2nd canonical form으로 표현. $$\begin{aligned}(D^2+3D+2) y(t) &= D x(t)\end{aligned}$$ $D$ : 미분연산자. 우선 적분기를 사용하기 위해 미분연산자를 제거. $$D^{-2}[(D^2+3D+2) y(t)] = D^{-2}[D x(t)] \\ (1+3D^{-1}+2D^{-2}) y(t) = D^{-1} x(t)$$ 중간변수 $v(t)$를 도입. $$(1+3D^{-1}+2D^{-2}) y(t) = D^{-1} x(t) \\ y(t)=\frac{D^{-1}}{1+3D^{-1}+2D^{-2}} x(t) \\ y(t) = D^{-1} \frac{x(t)}{1+3D^{-1}+2D^{-2}} \\ y(t) = D^{-1} v(t)..

[SS] Causal LTI System and Convolution

LTI system이 causal인 경우, impulse response $h(\tau)$는 $\taut$일 때 값이 0임. 때문에 Causal LTI System의 출력을 구하는 Convolution의 범위는 $(-\infty, \infty)$를 모두 처리할 필요 없음. 즉, $h(\tau)$와 $x(t-\tau)$의 곱이 값을 가지는 영역만 고려하면 된다.