.../Linear Algebra

[LA] Linear Transformation

Transformation $\mathbb{R}^n$ (domain) 에서 $\mathbb{R}^m$ (codomain) 으로의 transformation (= function or mapping) $T$는 domain에 속하는 각각의 vector $\textbf{x}$를 codomain의 vector $T(\textbf{x})$에 대응시키는 규칙임. 이를 다음과 같이 표기함 $$T: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$$ Transformation은 Function, System, Mapping, Model 등의 용어로 대체되거나 각각의 정의에 사용되는 경우가 많음. https://dsaint31.tistory.com/215 Function (함수) : 간략 정의 Function은 흔..

[LA] Determinant (행렬식)

Matrix는 일종의 Linear transform을 의미함. Linear transform을 의미하는 matrix 들 중에서, Square Matrix에서 구해지는 Determinant는 해당하는 Linear transform의 특성을 나타내는 scalar 임. square matrix가 의미하는 linear transform은 차원이 증가할 수 없음을 기억할 것. Determinant의 의미 Determinant가 의미하는 것은 크게 다음의 3가지임. Scale (or Volumne) Change. Determinant의 magnitude는 univectore들에 의한 n-dimentional unit volume이 Linear transform에 의해 얼마나 확대 또는 축소되는지를 나타냄. 0이 될..

[LA] Gauss-Jordan Elimination

System of linear equations (연립방정식)의 solution를 구하는 가장 표준적인 방법. Gauss Elimination을 좀더 보강한 방법 (컴퓨터 없이 연립일차방정식 계산할 경우 가장 일반적으로 사용됨) System의 Augmented Matrix에 Elementary Row Operations을 적용하여 Row Reduction(=행소거, 또는 Elimination으로 볼 수 있음)을 수행. Row reduction에 의해 Augmented Matrix는 Row Echelon Form (REF)이 됨. (← forward phase종료) 이 REF를 backward phase를 수행하여 Reduced Row Echelon Form(RREF)으로 변경하여 solution을 구함...

[LA] Row Operations and Row Equivalent

linear algebra에서는 "row operations"와 유사하게 "column operation"도 존재. 이 두 유형의 operations은 matrix를 다룰 때 중요한 tool로, matrix의 성질을 조사하거나 특정한 형태(Echelon form등)로 변환하는 데 사용. Elementary Row Operations (행 연산) row operations은 matrix의 row에 적용되는 operations로, 다음 세 가지 기본 유형이 있습니다: 행 교환 (Row Swapping or Interchanging): 두 행의 위치를 서로 교환합니다. 행 스칼라 곱 (Row Scaling): 한 행의 모든 원소를 비제로 스칼라 값으로 곱합니다. 행 덧셈 (Row Addition or Repl..

[LA] Pivot and Pivot Column

Pivot (position) Matrix의 row echelon form(REF)에서 leading entry들의 위치를 가르킴. leading entry : row에서 0이 아닌 첫번째 element를 가르킴. 실제로 REF나 RREF나 pivot position은 같음. RREF는 matrix에 대해 unique하게 결정됨 : Pivot역시 고정됨! Pivot column Matrix에서 Pivot (or Pivot position)을 포함하고 있는 column. Example 다음의 matrix $A$에서 pivot position과 pivot column을 구하라. $$A= \begin{bmatrix} 0 & -3 & -6 & 4 & 9 \\ -1 & -2 & -1 & 3 & 1 \\ -2 & ..

[LA] Existence and Uniqueness Theorem

Consistent Linear System 만약 Linear system이 consistent하다는 애기는 다음과 equivalent임. 해당 system의 augmented matrix에서 pivot column vector가 맨 오른쪽의 column이 되는 경우가 없음. 이는 REF (row echelon form)로 augmented matrix를 표시할 때, $\textbf{0} =b$ 와 같은 row가 없다는 애기임. (여기서 $\textbf{0}$은 zero row vector로 bold체로 표시됨.) Linear system이 consistent 할 경우 다음 두가지 경우 중 하나임. unique solution을 가짐 : 이 경우 free variable이 없음. (즉, REF에서 all..