[LA] Triangular Matrix and Diagonal Matrix

1. 삼각행렬(Triangular Matrix)

Triangular Matrix 는 다음 두 가지 유형으로 나뉨:

1-1. 상삼각행렬(Upper Triangular Matrix):

• Main Diagonal(주대각선) 아래의 모든 원소가 0인 행렬
• 수식으로: 모든 $i > j$ 에 대해 $a_{ij} = 0$

형태:

$$\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \dots & a_{1n} \\
0 & a_{22} & a_{23} & \dots & a_{2n} \\
0 & 0 & a_{33} & \dots & a_{3n} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \dots & a_{nn} \end{bmatrix}$$

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1-2. 하삼각행렬(Lower Triangular Matrix):

• Main Diagonal(주대각선) 위의 모든 원소가 0인 행렬
• 수식으로: 모든 $i < j$에 대해 $a_{ij} =0$

형태:

$$\begin{bmatrix} a_{11} & 0 & 0 & \dots & 0 \\
a_{21} & a_{22} & 0 & \dots & 0 \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & \dots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & \dots & a_{nn} \end{bmatrix}$$

1-3. Triangular Matrix의 주요 성질:

1. Triangular Matrix 의 determinant는 diagonal elements의 곱: $\text{det}(A) = a_{11} \times a_{22} \times \dots a_{nn}$
2. Triangular Matrix $A$가 invertible한 필요충분조건은 모든 diagonal elements가 $0$이 아닌 것임.
3. 두 같은 종류의 triangular matrix의 곱(product)은 같은 종류의 triangular matrix임.
4. Triangular Matrix의 eigenvalue는 diagonal elements임: $\lambda_i = a_{ii}$
5. Upper Triangular Matrix의 inverse는 Upper Triangular Matrix이고, Lower Triangular Matrix의 inverse는 Lower Triangular Matrix임: 모든 diagonal elements가 $0$이 아닌 경우에만 inverse 존재.
6. Triangular Matrix 은 항상 LU decomposition을 가지며, Upper Triangular Matrix는 $U$, Lower Triangular Matrix은 $L$이 됨.

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2. 대각행렬(Diagonal Matrix)

Diagonal Matrix는 Main Diagonal 이외의 모든 elements가 0인 Matrix:

• 수식으로: 모든 $i \ne j$에 대해 $a_{ij}=0$

형태:

$$\begin{bmatrix} a_{11} & 0 & 0 & \dots & 0 \\
0 & a_{22} & 0 & \dots & 0 \\
0 & 0 & a_{33} & \dots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \dots & a_{nn}\end{bmatrix}$$

```

2-1. Diagonal Matrix의 주요 성질:

1. 두 Diagonal Matrix의 Product(곱)은 commutative law(교환법칙)이 성립: $AB = BA$
2. Diagonal Matrix의 거듭제곱은 각 Diagonal Element의 거듭제곱임: $A^k = \text{Diag} [ a_{11}^k, a_{22}^k, \dots , a_{nn}^k ]$
3. Diagonal Matrix의 determinant는 Diagonal Elements의 product(곱)임: $\text{det}(A) = a_{11} \times a_{22} \times \dots \times a_{nn}$
4. Diagonal Matrix $A$가 invertible한 필요충분조건은 모든 diagonal elements가 0이 아닌 것임.
5. Invertible Diagonal Matrix $A$의 inverse matrix도 Diagonal Matrix임: $A^{-1} = \text{Diag} [ \frac{1}{a_{11}} , \frac{1}{a_{22}}, \dots, \frac{1}{a_{nn}} ]$
6. Diagonal Matrix의 eigenvalue는 Main Diagonal Elements임: $\lambda_i = a _{ii}$
7. Diagonal Matirx는 항상 diagonalizable합니다(자기 자신이 이미 대각화된 형태)
8. Diagonal Matrix의 trace는 Main Diagonal Elements의 sum(합)임: $\text{tr}(A) = a_{11} + a_{22} + \dots + a_{nn}$

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3. 관계

Diagonal Matrix는 Upper Triangular Matrix와 Lower Triangular Matrix의 intersection(교집합).

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2025.01.21 - [.../Linear Algebra] - [Summary] Linear Algebra (작성중)

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