[LA] Coordinate Mapping

Basis $B=\{\mathbf{b}_1, \dots, \mathbf{b}_n\}$을 사용하여 $\mathbb{R}^n$의 특정 point $\mathbf{x}$를 나타내는 coordinate $\mathbf{c}$인 경우, 다음이 성립함.

$$\begin{aligned}\mathbf{x} &= c_1 \mathbf{b}_1 + \dots + c_n \mathbf{b}_n \\ &= \begin{bmatrix} \mathbf{b}_1 & \cdots & \mathbf{b}_n \end{bmatrix} \mathbf{c} \\ &= A_{B} \mathbf{c} \\ &= A_{B} [\mathbf{x}]_B\end{aligned}$$

• $A_B$ :
  • basis $B$에서 standard basis of $\mathbb{R}^n$ 으로 좌표변환 행렬.
  • $A_B$는 basis $B$의 vector들을 column으로 가짐.
    $$A_B = \begin{bmatrix} \mathbf{b}_1 & \cdots & \mathbf{b}_n \end{bmatrix}$$
• $[\mathbf{x}]_B$ : $\mathbb{R}^n$에서 standard basis의 좌표인 vector $\mathbf{x}$를 basis $B$에서의 좌표로 나타낸 것으로 $\mathbf{c}$임.

만약 standard basis에서의 좌표 $\mathbf{x}$를 basis $B$에서의 좌표로 변경은 다음과 같이 이루어짐.

$$\mathbf{c} =[\mathbf{x}]_B = A_B^{-1} \mathbf{x}$$

 

위의 change of coordinate matrix들은 invertible임!

 

참고로, $B$ 기반의 좌표계와 $\mathbb{R}^n$은 isomorphism(동형사상) 이 성립함!

2025.02.07 - [.../Linear Algebra] - [LA] Isomorphism (동형사상)

[LA] Isomorphism (동형사상)