fourier transform

[SS] Fourier Transform of Impulse Function (Dirac Delta)

Continuous Time Signal에서의 Impulse Function은 Dirac Delta Function $\delta(t)$임. 이는 다음을 만족함. $$\delta(t)=\left\{ \begin{matrix} \infty &,t=0 \\ 0 &,t \ne 0 \end{matrix}\right. \\ \int^\infty_{-\infty} \delta(t)dt=1$$ 2022.08.29 - [.../Signals and Systems] - [SS] Impulse Function (Dirac Delta Function) [SS] Impulse Function (Dirac Delta Function) 다음과 같이 정의 되는 함수를 $\delta_\epsilon(t)$라고 하자. $$\delta..

[SS] A Short Table : Fourier Transform

https://dsaint31.tistory.com/363?category=1015725 $x(t)$ $X(\omega)$ 1 $e^{-a t}u(t), a>0$ $\frac{1}{a+j\omega}$ ref. 2 $e^{a t} u(-t) , a>0$ $\frac{1}{a-j\omega}$ 3 $e^{-a \vert t\vert}, a>0$ $\frac{2a}{a^2+\omega^2}$ 4 $te^{-a t}u(t), a>0$ $\frac{1}{ (a+j\omega)^2}$ 5 $t^ne^{-a t}u(t), a>0$ $\frac{n!}{ (a+j\omega)^{n+1}}$ 6 $\delta(t)$ $1$ ref. 7 $1$ $2\pi \delta(\omega)$ ref. 8 $e^{j\omega_0t..

[SS] Fourier Transform of Constant Function

Frequency domain에서 impulse function $\delta(\Omega)$에 대해 inverse Fourier transform (IFT)를 취해서 constant 1에 대한 Fourier transform (FT)를 구하는게 가장 쉬움. $\delta(\Omega)$의 IFT는 다음과 같음. $$\frac{1}{2\pi}\int^\infty_{-\infty} \delta(\Omega) e^{j\Omega t}d\Omega = \frac{1}{2\pi}\int^\infty_{-\infty}\delta(\Omega) e^0 d\Omega = \frac{1}{2\pi}$$ $\delta(\Omega)$는 $\Omega=0$일 때만 값을 가지면, $\int^\infty_{-\infty}\d..

[SS] Fourier Transform of Unit Step Function

Unit step function은 다음과 같음. $$ u(t)=\left\{\begin{matrix}1, & \text{ for } t \ge 0 \\ 0, & \text{ for } t [SS] Unit Step Function 수식 $$u(t)=\left\{\begin{matrix}1,& t>0 \\0, &t dsaint31.tistory.com 문제는 $u(t)$는 absolutely integrable하지 않아서 직접적으로 Fourier Transform(FT)를 못 구한다. 때문에 impulse function의 미분을 이용하거나 sgn function을 사용하여 구한다. (보통 table을 보거나 거의 외워서 푸는게 대부분이지만... 여기선 유도를 하려고 하니...) 여기선 sgn funct..

[SS] Fourier Transform of Signum

Signum function은 다음과 같음. $$ \text{sgn}(t)=\left\{\begin{matrix}1, & \text{ for } t \ge 0 \\ -1, & \text{ for } t

[SS] Fourier Transform of Complex Exponential Function

Note: Time domain에서의 Complex Exponential Function의 곱(product)이 Frequency domain에서는 shift로 나타남. : Frequency Shifting. 다음과 같은 Complex Exponential Function의 Fourier Transform을 수행. $$e^{-j\Omega_0t}$$ Fourier Transform을 수행하면 다음과 같음. $$\begin {align*} \int^\infty_{-\infty} e^{-j\Omega_0 t} e^{-j\Omega t} \text{d}t &= \int^{\infty}_{-\infty} e ^{-j(\Omega_0+\Omega)t}\text{d}t\\ \quad &= \int^{\infty}_..