fourier transform

[SS] Fourier Transform of Impulse Function (Dirac Delta)

Continuous Time Signal에서의 Impulse Function은 Dirac Delta Function $\delta(t)$임. 이는 다음을 만족함. $$\delta(t)=\left\{ \begin{matrix} \infty &,t=0 \\ 0 &,t \ne 0 \end{matrix}\right. \\ \int^\infty_{-\infty} \delta(t)dt=1$$ 2022.08.29 - [.../Signals and Systems] - [SS] Impulse Function (Dirac Delta Function) [SS] Impulse Function (Dirac Delta Function) 다음과 같이 정의 되는 함수를 $\delta_\epsilon(t)$라고 하자. $$\delta..

[SS] A Short Table : Fourier Transform

https://dsaint31.tistory.com/363?category=1015725 $x(t)$ $X(\omega)$ 1 $e^{-a t}u(t), a>0$ $\frac{1}{a+j\omega}$ ref. 2 $e^{a t} u(-t) , a>0$ $\frac{1}{a-j\omega}$ 3 $e^{-a \vert t\vert}, a>0$ $\frac{2a}{a^2+\omega^2}$ 4 $te^{-a t}u(t), a>0$ $\frac{1}{ (a+j\omega)^2}$ 5 $t^ne^{-a t}u(t), a>0$ $\frac{n!}{ (a+j\omega)^{n+1}}$ 6 $\delta(t)$ $1$ ref. 7 $1$ $2\pi \delta(\omega)$ ref. 8 $e^{j\omega_0t..

[SS] Fourier Transform of Constant Function

Frequency domain에서 impulse function $\delta(\Omega)$에 대해 inverse Fourier transform (IFT)를 취해서 constant 1에 대한 Fourier transform (FT)를 구하는게 가장 쉬움. $\delta(\Omega)$의 IFT는 다음과 같음. $$\frac{1}{2\pi}\int^\infty_{-\infty} \delta(\Omega) e^{j\Omega t}d\Omega = \frac{1}{2\pi}\int^\infty_{-\infty}\delta(\Omega) e^0 d\Omega = \frac{1}{2\pi}$$ $\delta(\Omega)$는 $\Omega=0$일 때만 값을 가지면, $\int^\infty_{-\infty}\d..

[SS] Fourier Transform of Unit Step Function

Unit step function은 다음과 같음. $$ u(t)=\left\{\begin{matrix}1, & \text{ for } t \ge 0 \\ 0, & \text{ for } t [SS] Unit Step Function 수식 $$u(t)=\left\{\begin{matrix}1,& t>0 \\0, &t dsaint31.tistory.com 문제는 $u(t)$는 absolutely integrable하지 않아서 직접적으로 Fourier Transform(FT)를 못 구한다. 때문에 impulse function의 미분을 이용하거나 sgn function을 사용하여 구한다. (보통 table을 보거나 거의 외워서 푸는게 대부분이지만... 여기선 유도를 하려고 하니...) 여기선 sgn funct..

[SS] Fourier Transform of Signum

Signum function은 다음과 같음. $$ \text{sgn}(t)=\left\{\begin{matrix}1, & \text{ for } t \ge 0 \\ -1, & \text{ for } t

[SS] Fourier Transform of Complex Exponential Function

Note: Time domain에서의 Complex Exponential Function의 곱(product)이 Frequency domain에서는 shift로 나타남. : Frequency Shifting. 다음과 같은 Complex Exponential Function의 Fourier Transform을 수행. $$e^{-j\Omega_0t}$$ Fourier Transform을 수행하면 다음과 같음. $$\begin {align*} \int^\infty_{-\infty} e^{-j\Omega_0 t} e^{-j\Omega t} \text{d}t &= \int^{\infty}_{-\infty} e ^{-j(\Omega_0+\Omega)t}\text{d}t\\ \quad &= \int^{\infty}_..

[SS] Fourier Transform of Real Exponential Function

다음과 같은 Real Exponential Function이 있다고 하자. $$b e^{-at} u(t), a>0$$ 해당 Real Exponential Function의 Fourier Transform은 다음과 같음. $$\begin {align} \int^\infty_{-\infty}b e^{-at} u(t)e^{-j\Omega t} \text{d}t &= b \int^{\infty}_{-\infty}u(t)e ^{-(a+j\Omega)t}\text{d}t\\ \quad &= b \int^{\infty}_{0}e ^{-(a+j\Omega)t}\text{d}t\\ \quad &= b \left [ \frac{e ^{-(a+j\Omega)t}}{-(a+j\Omega)}\right]^\infty_0\\ \..

[SS] Fourier Transform of sinc

sinc 함수의 FT는 Pulse에 대한 inverse Fourier Transform으로 증명하는게 가장 쉽다. 우선 다음과 같이 Pulse Signal에서 FT는 sinc 가 나온다. $$ \mathcal{F}\left[\text{Rect}\left(\frac{t}{\tau}\right)\right] = \tau \text{sinc} \left(\frac{\tau}{2\pi}\Omega\right)$$ 다음 그림은 $\text{Rect}_\tau(t)$을 나타낸다. pulse signal에 대한 FT이 sinc이므로, duality에 의해 sinc를 FT할 경우 pulse가 나오는 것을 예측할 수 있다. 즉, pulse signal을 inverse Fouriter transform하여 sinc가 나오..

[SS] Fourier Transform of Pulse Signal

다음은 pulse signal의 정의임. $$ x(t)=\left\{\begin{matrix}1, & |t|\le\frac{\tau}{2} \\ 0, & \text{otherwise} \end{matrix}\right.$$ Fourier Transform은 다음과 같음. $$\begin{aligned} X(\Omega)&=\int^\infty_{-\infty} x(t) e^{-j\Omega t} dt \\ &=\int^{\frac{\tau}{2}}_{-\frac{\tau}{2}} 1 e^{-j \Omega t} dt \\ &=\left. \frac{e^{-j\Omega t}}{-j\Omega} \right| ^{\frac{\tau}{2}} _{-\frac{\tau}{2}} \\ &= \frac{1}{-j..

[SS] Ch03 Quiz (정답포함)

다음의 sin, cos 및 이들의 선형조합들에 대한 Fourier Transform은 다음과 같음. 1. $\sin \omega_0 t$ $$\begin{aligned} \mathcal{FT}[\sin \omega_0 t] & = \int_{-\infty}^{\infty} \sin \omega_0 t e^{-j\Omega t} dt \\ &= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{j\omega_0 t}-e^{-j\omega_0 t}}{2j} e^{-j\Omega t} dt \\ &= \frac{1}{2j} \left\{\int_{-\infty}^{\infty} e^{j\omega_0 t} e^{-j\Omega t} dt - \int_{-\infty}^{\infty} e^{-j\ome..