IFT of Impulse
Frequency domain에서 impulse function $\delta(\Omega)$에 대해 inverse Fourier transform (IFT)를 취해서
constant 1에 대한 Fourier transform (FT)를 구하는게 가장 쉬움.
$\delta(\Omega)$의 IFT는 다음과 같음.
$$\frac{1}{2\pi}\int^\infty_{-\infty} \delta(\Omega) e^{j\Omega t}d\Omega = \frac{1}{2\pi}\int^\infty_{-\infty}\delta(\Omega) e^0 d\Omega = \frac{1}{2\pi}$$
- $\delta(\Omega)$는 $\Omega=0$일 때만 값을 가지면, $\int^\infty_{-\infty}\delta(\Omega)d\Omega=1$임을 기억.
- 때문에 곱해지는 $e^{j\Omega t}$도 $\Omega=0$인 경우만 고려하면 되며, 이 경우 $e^0=1$임.
FT은 linear하므로 $2\pi\delta(\Omega)$의 IFT를 구하면 다음과 같음.
$$\frac{1}{2\pi}\int^\infty_{-\infty}2\pi\delta(\Omega) e^{j\Omega t}d\Omega =\frac{1}{2\pi}2\pi\int^\infty_{-\infty}\delta(\Omega) e^0 d\Omega = 1$$
$2\pi\delta(\Omega)$의 IFT가 1이라는 애기는 1에 대한 FT가 바로 $2\pi\delta(\Omega)$임을 의미함.
고로 다음이 성립
$$\mathcal{F}[1]=2\pi\delta(\Omega)$$
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