[SS] Fourier Transform of Unit Step Function

Unit step function은 다음과 같음.

$$ u(t)=\left\{\begin{matrix}1, & \text{ for } t \ge 0 \\ 0, & \text{ for } t<0\end{matrix}\right.$$

2023.07.05 - [.../Signals and Systems] - [SS] Unit Step Function

[SS] Unit Step Function

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문제는 $u(t)$는 absolutely integrable하지 않아서 직접적으로 Fourier Transform(FT)를 못 구한다.

 

때문에 impulse function의 미분을 이용하거나 sgn function을 사용하여 구한다.

(보통 table을 보거나 거의 외워서 푸는게 대부분이지만... 여기선 유도를 하려고 하니...)

 

여기선 sgn function을 이용하여 유도한다.

$$x(t)=u(t)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\text{sgn}(t)$$

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이를 Fourier Transform하면 다음과 같음.

$$\begin{aligned}X(\Omega)&=\int^\infty_{-\infty}x(t)e^{-j\Omega t}dt \\ &= \int^\infty_{-\infty} \left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\text{sgn}(t)\right) e^{-j\Omega t}dt \\ &= \int^\infty_{-\infty} \frac{1}{2} \left(1+\text{sgn}(t)\right) e^{-j\Omega t}dt \\ &= \int^\infty_{-\infty} \frac{1}{2} 1 e^{-j\Omega t}dt + \int^\infty_{-\infty} \frac{1}{2} \text{sgn}(t) e^{-j\Omega t}dt \\ &= \frac{1}{2} \left[ \int^\infty_{-\infty} 1 e^{-j\Omega t}dt + \int^\infty_{-\infty} \text{sgn}(t) e^{-j\Omega t}dt \right]\\ &= \frac{1}{2} \left[ \mathcal{FT}(1) + \mathcal{FT}(\text{sgn}(t)) \right]\\ &= \frac{1}{2} \left[ 2\pi\delta(\Omega) + \frac{2}{j\Omega} \right]\\ &= \pi\delta(\Omega) + \frac{1}{j\Omega}\end{aligned}$$

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즉, 다음과 같이 표기가능함.

$$\mathcal{F}[u(t)]=\pi\delta(\Omega) + \frac{1}{j\Omega}$$

 

2022.09.28 - [.../Signals and Systems] - [SS] Fourier Transform of Signum

[SS] Fourier Transform of Signum

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[SS] Fourier Transform of Constant Function