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[Math] Basis

기저(Basis)는 vector space 또는 function space 에서 모든 요소를 나타내기 위해 필요한 최소한의 독립적인 요소 집합(vector set or function set).Basis (기저)는 벡터 공간 또는 함수 공간의 구조와 차원을 이해하는 데 필수적기저들의 선형 결합을 통해 공간의 모든 요소를 표현할 수 있음.Basis 의 조건Basis 가 되기 위해서는 다음 두 가지 조건을 만족해야 함.선형 독립성(Linear Independence):기저 벡터 집합의 각 벡터는 다른 벡터들의 선형 결합으로 나타낼 수 없어야 함.즉, 모든 기저 벡터가 서로 독립적.벡터 공간을 생성(Span):basis들의 선형 결합으로 벡터 공간의 모든 벡터를 표현할 수 있어야 함.이를 벡터 공간을 생성(s..

[Math] Inner Product (or Hermitian Inner Product, 내적)

Inner product (내적)은 vectoer space이나 function space에서 두 대상 간의 relationship(관계)를 나타내는 operation(연산). 다음의 세 가지 성질을 만족할 때 Inner Product라 부르며, 이를 통해두 벡터나 함수 간의simmilarity(유사성 ~ 사이각),orthogonality(직교성) 등을 평가할 수 있음.Inner Prodcut 의 성질 (or Definition)1. 선형성(Linearity):Inner product는 첫 번째 항에 대해 스칼라 곱에 대해 선형성을 가져야 합니다.$$\langle af + bg, h \rangle = a \langle f, h \rangle + b \langle g, h \rangle$$여기서$a$와 $..

[Statistics] Tail, Head, and Distribution (w/ Moment)

확률 분포 등에서 헷갈리기 쉬운 tail, head 와 heavy tailed와 light tailed, 그리고 Right skewed 와 Left skewed를 정리.1. Head데이터 분포에서 중심부주로 중앙값(median)의 위치라고 보면 거의 맞음. mean을 사용하기도 하지만, heavy tailed나 skewed의 경우 mean은 적절치 못할 수 있음2. Tail극단적인 값들이 나타나는 끝부분을 의미분포의 양끝에 있는 극단적인 값들로 구성. 3. Heavy-tailed 분포 Heavy-tailed 분포는 꼬리가 두꺼워 극단적인 값들이 자주 발생하는 분포입니다.꼬리가 천천히 0으로 수렴하며, 금융 시장에서의 큰 손실이나 자연 재해와 같은 드물고 극단적인 사건들을 잘 설명.참고oai_citatio..

[Math] Algebraic Properties

Algebraic properties는수학적 구조 내에서 operation(연산)이 어떻게 작용하는지 설명하는 규칙과 법칙들을 의미다음과 같은 3가지 종류가 있음.Commutative Property (교환법칙)동의어: commutative law, commutative, commutativity operand의 순서가 바뀌어도 equaility 가 성립. 다음은 commutative가 성립하지 않는 경우를 지칭하는 용어임.non-commutative, anti-commutativity예를 들면, Vector addition의 경우를 들 수 있음.$$\mathbf{a}+\mathbf{b} = \mathbf{b}+\mathbf{a}$$Associative Property (결합법칙)동의어: associat..

[Math] Identity (항등원) and Inverse (역원)

operation에 대해 identity(항등원) 과 inverse(역원)이 존재inverse는 없을 수도 있음.operand가 function인 경우, identity와 inverse도 function.identity (항등원)어떤 object에 대해 어떤 operation를 identity와 함께 가할시 자기 자신이 됨.자연수의 addition에서 0 이 identity의 대표적 예. inverse (역원)inverse와 해당하는 operation을 가하면, 해당 operation의 identity가 됨.실수의 multiplication에서 1이 inverse의 대표적인 예. 2024.02.26 - [.../Math] - [Math] Inverse Function: Inverse vs. Recipro..

[Math] Term: Algebra란? (대수란?)

Algebra은 변수(variables)와 연산(operations)을 사용하여 수학적 구조(mathematical structures)와 관계(relationships)를 연구하고 다양한 문제를 해결하는 학문. Algebra는수와 변수를 사용하여 relation(관계)를 간결하게 표현하고,variable과 symbol을 통해 다양한 숫자 사이의 관계를 간단하고 일반적인 방식 (equations, inequalities 등등)으로 표시특정 set(집합)과 그 구성 요소에 대한 operation rules(연산 규칙)을 연구하는 학문임.즉, Algebra는임의의 set(집합)과 그에 대한 연산 규칙을 정의하고,이를 하나의 체계(수학적 구조)로 묶어 다루는 것을 의미하기도 함.대표적인 예로, Linear A..

[Math] Quaternion (사원수) 와 3D Rotation

Quaternion 이란?1843년 William Rowan Hamilton(아일랜드 수학자)이 제안한 수 (or 4D vector)로real number(실수) $1$과 세 개의 imaginary unit (허수 단위) $i, j, k$를 basis로 가지는4-dimenentional vector space(4차원 벡터 공간)을 구성하는 number의 집합:(vector space를 이루는 vector로 표현 가능)쉽게 생각하면2D에 해당하는 complex nubmer를 4D로 확장했다고 볼 수 있음Computer Graphics, Computer Vision, Robot Engieering 등에서 물체를 3차원으로 회전시키는 공간 변환등을 표현하는 데 많이 사용됨.4d vector space를 이루므..

[Math] Projective Space: $\mathbb{P}^n$, n차원 투영공간

$n$ dimension의 real projective space $\mathbb{P}^n$는 다음과 같은 set(집합)임.$$\mathbb{P}^n = \mathbb{R}^{n+1} - \mathbf{0} $$Projective space 에서는 duality가 성립하여,해당 space에 속하는 element인 vector들은point 일수도 있고, line일수도 있음(point에서 성립하는 것은 line에서도 성립:duality)2024.06.28 - [.../Math] - [Math] Duality of Projective Geometry [Math] Duality of Projective Geometryprojective geometry(사영기하학)에서 duality(이중성) 는point(점)과 ..

[Math] Hypothesis Testing 에서 Conservative Approach (보수적 접근법)란?

Hypothesis Testing 에서 Conservative Approach (보수적 접근법)란?Hypothesis(가설검정)에서 Conservative Approach(보수적인 접근방식)은오류를 최소화하고결과의 신뢰성을 극대화하기 위해보다 엄격한 기준을 적용하는 방법을 가리킴.일반적으로 주로 1종 오류(Type I Error)를 줄이는 데 중점을 두는 경우를 Conservative Approache라고 함.1. Features of a Conservative Approach낮은 Significance Level $\alpha$ 설정:관례적으로 Significance Level은 0.05로 설정되지만,Conservative Approach에서는 이보다 낮은 값(예: 0.01 또는 0.001)으로 설정되..

[Math] Duality of Projective Geometry

Duality of Projective Geometryprojective geometry(사영기하학)에서 duality(이중성) 는point(점)과 line(직선) 사이의 역할을 교환해도 성질이 변하지 않는 관계를 의미함 이 글은 projective geometry에서 duality(이중성)를 예를 통해 설명함.duality(이중성)의 기본 원리projective geometry(사영기하학)에서의 duality(이중성)는 다음과 같은 방식으로 정의됨:point과 line의 interchange(교환):어떤 theorem(정리)가 point에 대해 성립(true)한다면,그 theorem에서 point를 line으로, line을 point로 바꾸어도 성립함. Example 0Original TheoremTh..