[Math] 예제: Domain, Codomain, Image, Range, Preimage, Coimage

예제

함수 $f(x) = x^2$, domain $X = [-2, 2]$ 를 예제로 하여 domain, codomain, image, range, preimage, coimage 를 구해봄.

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Domain (정의역): $X = [-2, 2]$

• 입력값의 범위: $-2 \le x \le 2$

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Codomain (공역): $Y = \mathbb{R}$ (실수 전체)

• 가능한 모든 출력값의 집합

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Image (상): $\{y | y = x^2, x \in [-2, 2]\}$

• 실제 출력값의 범위
• 최솟값: $x = 0$일 때, $f(0) = 0$
• 최댓값: $x = \pm 2$일 때, $f(\pm 2) = 4$
• 따라서 $\text{image} = [0, 4]$

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Range (치역): $[0, 4]$

• image와 동일.
• image들의 집합을 가리키는데 주로 사용되고, 이 경우, image는 range의 한 entry(함숫값 하나)를 가리킴.

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Preimage (원상, 역상, Inverse Image):

• codomain의 원소 y에 대한 역상 $f^{-1}(y) = \{x \in X | f(x) = y\}$
• 예시:
  • $f^{-1}(0) = \{0\}$
  • $f^{-1}(1) = \{-1, 1\}$
  • $f^{-1}(2) = \{-\sqrt{2}, \sqrt{2}\}$
  • $f^{-1}(4) = \{-2, 2\}$
  • $f^{-1}(5) = \emptyset$
• $y \in [0, 4]$일 때만 preimage가 존재
• domain의 subset 에 해당함.

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Kernel (커널):

• $\text{ker}(f) = \{x \in X | f(x) = 0\} = \{0\}$
• 함숫값이 0이 되는 모든 $x$값의 집합

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Coimage (코이미지, 여상):

• domain $X$의 partition(분할)을 나타내는 Equivalence Class(동치류)들의 집합
• 수학적 표현
  • 함수 $f: X \leftarrow Y$에 대해
  • $\text{ker}(f) = \{x | f(x)=0\}$ 는 function의 kernel.
  • 동치관계: $x_1 \sim x_2 \leftrightarrow f(x_1) = f(x_2)$
  • $[x]^f$는 element $x$를 포함하는 Equivalence Class.
• coimage의 특성
  • 모든 $x \in X$는 정확히 하나의 Equivalence Class에 속함.
  • 같은 동치류에 속한 원소들은 함수 $f$에 의해 같은 값으로 매핑됨.
  • coimage는 function의 Kernel 구조를 보여줌
• coimage의 구성:
  1. Kernel을 하나의 entry로: $[0]^f = \{0\}$
  2. 나머지 동치류들: $x > 0$에 대해 $[x]^f = \{-x, x\}$
• 예제
  • domain $[-2,2]$에서 정의된 함수 $f$가 다음과 같은 성질을 가짐 .
    • Kernel은 0 만을 entry로 가짐: $\text{ker}(f) = {0}$ 또는 $[0]^f = {0}$.
    • 나머지 Equivalence Class: $x>0$에 대해 $[x]^f = {-x,x}$
  • 이 경우 comiage는 다음과 같음. 
    • $\text{coimage} = \{[0]^f\} \cup \{[x]^f | x \in (0,2]\}$
    • 이는 다음과 같은 애기임: $\{ {0}, \{ \{-x, x\} | x \in (0,2] \}$
  • 해석:
    • Element $0$는 혼자 하나의 동치류 형성.
    • 구간 $(0,2]$의 각 양수 $x$에 대해, $x$와 $-x$가 같은 동치류 형성.
    • function $f$는 $x$와 $-x$에 대해 같은 값을 가짐 (원점 대칭 함수)

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Notification:

1. Image와 coimage는 canonical isomorphism (동형)관계
   • coimage의 각 동치류 $[x]^f$는 image의 한 점 $f(x)$와 일대일 대응
2. Domain의 분할 구조:
   • 각 $x \in X$는 정확히 하나의 Equivalence class(동치류)에 속함
   • 동치류들은 서로 겹치지 않음
   • 모든 동치류의 합집합이 domain $X$
3. Preimage의 특성:
   • $y \in [0, 4]$일 때만 존재
   • $y = 0$일 때를 제외하고 모든 $y$값에 대해 두 개의 $x$값을 가짐
4. Kernel과 coimage의 관계:
   • Kernel은 그 자체로 하나의 동치류
   • Kernel(여기서는 $\{0\}$)은 coimage에서 단일 entry $[0]^f$로 취급
   • 이는 "kernel을 동일시한다"는 것의 의미
   • Coimage의 나머지 entry들은 각각 두 개의 원소로 구성 ($\{-x, x\}$)
5. Coimage와 preimage의 관계:
   • Coimage의 각 동치류는 특정 $y$값에 대한 preimage와 같은 집합
   • 하지만 coimage는 이들의 전체 collection을 domain의 분할로 보는 관점.

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같이보면 좋은 자료

2021.09.14 - [.../Math] - Function (함수): 간략 정의

Function (함수): 간략 정의

https://ics.uci.edu/~alspaugh/cls/shr/correspondence.html

Correspondences

 

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