[Math] Extremum Point, Inflection Point, Saddle Point, Convex and Concave.

다음은 Scalar-Valued Function에 기반.

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증가/감소

Function 의 증가/감소 는 1st derivative 으로 판정 가능.

• $\frac{df(a)}{dx} > 0 $ 이면, $f(x)$는 $x=a$ 에서 증가 상태임.
• $\frac{df(a)}{dx} <0 $ 이면, $f(x)$는 $x=a$ 에서 감소 상태임.

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미분가능한 함수에서 극값(극대/극소)의 조건-Extremum Point

$x=a$가 extremum point에서 $f(x)$가 extremum value 이려면

• $\frac{df(a)}{dx} =0$ 이 성립

multi-variable function 인 경우, gradient가 0.

2023.07.10 - [.../Math] - [Math] Stationary point (or Critical point)

[Math] Stationary point (or Critical point)

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Convex 와 Concave

2차함수의 extremum point에서,

$ f^{\prime\prime} > 0$ 인 경우, convex: Multi-Variable Function인 경우 Positive Definite!

$ f^{\prime\prime} < 0$ 인 경우, concave: Multi-Variable Function인 경우 Negative Definite!

 

2023.07.10 - [.../Math] - [Math] Second Order Condition : Convexity

[Math] Second Order Condition : Convexity

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Inflection Point (변곡점)

$f^{\prime\prime} =0$ 이면서

• 변곡점을 기준으로  $f^{\prime\prime}$ 의 sign이 바뀜.
• 참고로  1st derivative가 0일 이유는 없음.

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참고: Saddle Point 와 구분할 것.

Saddle Point는 특정 방향에서 증가와 감소가 동시에 나타난 점임.

• 주로 Multi-Variable Function에서 사용되며
• Gradient가 0이면서 Hessian Matrix에서 양과 음의 Eigenvalue를 동시에 가짐.

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