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다음은 Scalar-Valued Function에 기반.
증가/감소
Function 의 증가/감소 는 1st derivative 으로 판정 가능.
- $\frac{df(a)}{dx} > 0 $ 이면, $f(x)$는 $x=a$ 에서 증가 상태임.
- $\frac{df(a)}{dx} <0 $ 이면, $f(x)$는 $x=a$ 에서 감소 상태임.
미분가능한 함수에서 극값(극대/극소)의 조건.
$x=a$가 extremum point에서 $f(x)$가 extremum value 이려면
- $\frac{df(a)}{dx} =0$ 이 성립
multi-variable function 인 경우, gradient가 0.
2023.07.10 - [.../Math] - [Math] Stationary point (or Critical point)
Convex 와 Concave
2차함수의 extremum point에서,
$ f^{\prime\prime} > 0$ 인 경우, convex.
$ f^{\prime\prime} < 0$ 인 경우, concave.
Infelction Point (변곡점)
$f^{\prime\prim} =0$ 이면서
- 변곡점을 기준으로 $f^{\prime\prime}$ 의 sign이 바뀜.
- 참고로 1st derivative가 0일 이유는 없음.
참고: Saddle point 와 구분할 것.
Saddle Point는 특정 방향에서 증가와 감소가 동시에 나타난 점임.
- 주로 multi-variable function에서 사용되며
- gradient가 0이면서 Hessian Matrix에서 양과 음의 eigen value를 동시에 가짐.
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