[Math] Binomial Theorem (이항정리)

Binomial Theorem

Binomial Theorem (이항정리)는

• $(a + b)^n$ 형태의 이항식을
• $a$ 와 $b$의 항들로 이루어진 합으로 전개하는 방법을 설명하는 Theorem.

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공식 (Formula)

Binomial Theorem 는 다음과 같이 표현:

$$(a + b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$$

여기서:

• $n$: 양의 정수 또는 0 (지수),
• $\binom{n}{k}$: Binomial Coefficient(이항계수)로 $n$ 개 중 $k$ 개를 선택하는 방법의 수:

$$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$

 

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Key Points

1. Binomial Coefficient (이항계수):
   • $\binom{n}{k}$ 는 전개된 각 항의 계수.
2. Exponent Pattern (지수 패턴):
   • $a$ 의 지수는 $n$ 에서 시작하여 $0$ 으로 감소.
   • $b$ 의 지수는 $0$ 에서 시작하여 $n$ 으로 증가.
3. Number of Terms (항의 개수):
   • 전개된 Term 은 총 $n+1$ 개.

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예제

1. $(a + b)^2$ :

$$\begin{aligned}(a + b)^2 &= \binom{2}{0}a^2b^0 + \binom{2}{1}a^1b^1 + \binom{2}{2}a^0b^2 &= a^2 + 2ab + b^2\end{aligned}$$

2. $(x + 1)^3$ :

$$\begin{aligned}(x + 1)^3 &= \binom{3}{0}x^3 + \binom{3}{1}x^2(1) + \binom{3}{2}x(1^2) + \binom{3}{3}(1^3) &= x^3 + 3x^2 + 3x + 1\end{aligned}$$

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