[Math] Binomial Distribution (이항분포)

Binomial Distribution (이항분포) 

1. 정의 

 1이 나올 확률(or 성공확률)이 $p$이고, 0이 나올 확률(or 실패확률)이 $1-p$인  

 Bernoulli trial을 $N$번 반복하는 경우의 성공횟수를 Random Variable $X$라고 할 경우,
 $X$가 따르는 probability distribution(확률분포)가 바로 binomial distribution임.

 

식으로 표현할 경우 다음과 같음.

$$X \sim \text{Bin}(x;N,p)$$

• probability distribution를 결정짓는 variables를 parameters라고 부르며, 여기서는 $N$과 $p$이다.
• ;을 통해 random variables과 parameters를 구분하고 있다.

달리 애기하면 다음이 성립한다.

• Bernoulli trial을 1회 수행한 경우의 확률변수는 Bernoulli distribution을 따른다고 하며,
• Bernoulli trial을 $N$회 수행한 경우의 확률변수는 Binomial distirbution을 따른다.
• 즉, $N=1$인 경우, Binomial distribution은 Bernoulli distribution이다.

2023.08.17 - [.../Math] - [Math] Bernoulli Distribution (베르누이 분포)

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2. 수식

$$\begin{aligned} \text{Bin}(x;N,p)&=_NC_x p^x(1-p)^{(N-x)} \\ &= \left( \begin{matrix}N \\ x\end{matrix}\right)p^x(1-p)^{N-x} \\ &=\frac{N!}{x!(N-x)!}p^x(1-p)^{N-x} \end{aligned}$$

where

• $\left( \begin{matrix}N \\ x \end{matrix} \right)$: combination (조합). $N$개의 element에서 $x$개의 element를 순서에 상관없이 선택하는 경우의 수.
• $N!$ : factorial. $N! = N\cdot(N-1)\cdot(N-2) \cdots 2\cdot1$

2024.02.04 - [.../Math] - [math] Factorial(계승), Permutation (순열) & Combination (조합)

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참고 : Poisson Distribution과의 관계

• 이는 binomial distribution에서 $N$을 무한대로 보내고, mean이었던 $\mu=Np=\lambda$로 치환하여 얻어짐.
  • 일반적으로 $N \ge 10$, 성공확률 $p\le 0.1$인 binomial distribution인 경우 Poisson distribution과 유사함.
• 즉, 발생확률 $p$가 매우 낮은 경우면서 $N$이 무한대인 binomial distribution이 바로 Poisson Distribution임.

부가적으로 $\lambda$가 커질수록 Poisson Distribution은 Gaussian Distribution(=Normal Distribution)과 유사해짐.

2023.10.25 - [.../Math] - [Math] Poisson Distribution (포아송분포)

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3. Moment

3.1. Expected Value (기댓값, 1st moment)

$$E[X]=Np$$

증명은 다음을 참고.

$$\begin{aligned} E[X]&=E\left[\sum^N_{i=1}Y_i\right] \\ &= \sum^N_{i=1} E\left[ Y_i \right] \\ &= \sum^N_{i=1}p \\ &=Np \end{aligned}$$
where, $Y_i$는 각각이 독립인 Bernoulli random variable임.

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3.2 Variance (분산, 2nd moment)

$$\text{Var}[X]=Np(1-p)$$

 

2022.03.31 - [.../Math] - [Statistics] Moment (Probability Moment)

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기계학습의 Ensemble Learning 과 Binomial Distribution

참고로 binomial distribution은

• Ensemble Learning에서
• 충분히 많은 수의 독립적인 weak learner들로
• strong learner를 만들 수 있는

이론적 근거로 사용된다.

 

예를 들면,

Binary classification 에서 51%의 accuracy를 가지는 weak model들이 1000개가 있다고 하면,

이들을 hard voting으로 aggregation한 ensemble model은 accuracy가 75%정도나 된다.

이는 binomial distribution $\text{Bin}(x;N=1000,p=0.51)$에서

$x=499$인 경우의 Cumulative Density Function의 값 을 1에서 빼주어 구할 수 있다.

다수결인 hard voting이므로 1000개의 모델 중 499개 이하로만 틀리면 전체 ensemble 모델은 정답을 맞추게 되기 때문이다.

from scipy.stats import binom
1-binom.cdf(499,1000,0.51)

 

물론 충분한 수의 독립적인 모델을 훈련시키는 것은 대부분의 경우 쉽지 않은 문제이기 때문에 ideal한 경우를 말하고 있긴 하다.