[Math] Random Variable

Random Variable : 

Random variable(확률변수)란?

• sample space의 event (=subset of sample space)들을
• 어떤 real number(실수)나 integer(정수) 등의 숫자들에 mapping한 것을 가리킨다.

"Random process 나 Random trial (or Random experiment)”에서
일정한 확률을 가지고 발생하는 event들 각각에
real number를 할당한 variable(변수)

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Function의 개념으로 본 Random Variable : 

A random variable is a numerical value given to every possible outcome of a random experiment.

• random experiment (or trial, 아래에 관련 URL나옴)에서 나올 수 있는 모든 outcome들이 구성하고 있는 것이 바로 sample space.
• sample space의 부분집합인 event를 구분할 수 있도록 숫자를 할당할 경우, 해당 숫자들을 값으로 가지는 변수가 random variable이 된다.

function의 개념으로 생각하면,
domain이 sample space이고, codomain이 $\mathbb{R}$인 function이 random variable임:
image가 결국 probability.

• sample space의 한 sample point가 입력되면,
• 해당 sample point에 해당하는 실숫값(←sample value라고 부름)을 결과로 반환.
• random variable은 sample과 sample value를 매핑!

Put simply, it is a function that assigns a numerical value to each outcome in the sample space of a random experiment (=sample point).
The value of a random variable can vary from trial to trial and is determined by chance (=probability distribution: stochastic).
Random variables can be discrete, which means they only take on a countable number of possible values, or continuous, which means they can take on any value in an interval.

 

2022.10.14 - [.../Math] - [Math] Sample Space (표본공간)

[Math] Sample Space (표본공간)

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간단 정의와 종류

즉, Sample space의 각 event (=subset)나 sample point(=element)들은
발생할 확률을 가지고 있는데,

하나의 숫자를 해당 evnet 또는 sample point에 할당하여 표현한 것이 random variable이다.

 

Random Variable은 다음과 같이 두가지 종류가 있음.

• Discrete Random Variable: 가능한 결과가 셀 수 있는 경우(예: 주사위의 눈금, 동전의 앞뒷면 등).
• Continuous Random Variable: 가능한 결과가 연속적인 범위를 가질 경우(예: 사람의 키, 무게 등)

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Random Variable과 Probability Distribution

Probability Distribution (확률 분포)은 특정 random variable이 가질 수 있는 각각의 값에 대한 확률을 나타냄으로서

Random Variable을 정확히 기술(represent, describe)함.

 

일반적으로,

• random variable이 continuous인 경우, probability density function (pdf)으로 해당 random variable이 가지는 probability ditribution이 정의됨.
• Í만약 discrete 인 경우엔, probability mass function (pmf)가 사용된다.

Random Variable의 Probability Distribution를 나타내는데에는 probability distribution function (PDF)가 사용되기도 함.

(pdf는 probability density function을, PDF는 probability distribution function을 나타내는데 사용되는 경우가 많으나 혼재해서 사용되니 주의할 것.)

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Probability Distribution Function 

$$
P_X(C)=Pr[X\le C]
$$

• $Pr[X \le C]$ : 확률변수 $X$가 $C$보다 같거나 작은 값을 가질 확률.

이 PDF는 다음의 성질을 가짐.

• $0\le P_X(C)\le 1$
• $P_X(-\infty)=0$
• $P_X(\infty)=1$
• $P_X(C_1) \le P_X(C_2)$, for $C_1 \le C_2$

사실, 위의 정의에 대한 함수를 cumulative distribution function (cdf)라고 부르는 경우가 더 많음.

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Example

많이 사용되는 예가 동전던지기 random experiment이다.

2022.10.14 - [.../Math] - [Math] Random Experiment (확률 실험, Trial, 시행)와 Event

[Math] Random Experiment (확률 실험, Trial, 시행)와 Event

 

해당 예의 sample space에서

• 가능한 event는 앞면(H)과 뒷면(T)이고,
• 이들 각각에 0과 1을 할당한 변수를 정의하면
• 이것이 바로 random variable이 된다.

이 예를 Random variable X로 나타내면,

X는 1 또는 0 이라는 값을 가질 수 있는 variable이고,

각 값을 가질 확률이 0.5 씩인 random variable 이 된다.

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Random Variable and Random Process

Random process 는 어떤 parameter로 indexing이 된 random varialble의 모임이라고 볼 수 있다.

전문용어로 애기한다면,
Random Variable은
problem-independent representaiton of a random process 이다.

2022.10.14 - [.../Math] - [Math] Definition : Random Process

[Math] Definition : Random Process