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[SS] CTFT Properties : Modulation Theorem

CTFT 에서 Modulation Property란 $x(t)$의 CTFT가 $X(\Omega)$인 경우, $x(t) \cos (\Omega_0 t)$의 CTFT가 다음과 같음을 의미함. $$\mathcal{F}\left[ x(t) \cos (\Omega_0 t)\right] = \frac{1}{2} \left[ X(\Omega-\Omega_0) + X(\Omega+\Omega_0)\right]$$ 추가적으로, $x(t) \sin (\Omega_0 t)$의 CTFT도 다음과 같이 구해짐. $$\mathcal{F}\left[ x(t) \sin (\Omega_0 t) \right] = \frac{1}{2j} \left[ X(\Omega - \Omega_0) - X(\Omega + \Omega_0)\right..

[SS] Orhtogonal Function : sin

$\sin$ signal 은 interval $[-\pi,\pi]$에서 orthogoanl function(직교 함수)임. 다음을 참고. $$\begin{aligned} \int^{\pi}_{-\pi} f_m (t) f^{*}_{l} (t) dt &= \int^{\pi}_{-\pi} \sin (mt) \sin (lt) dt \\ &= \int^{\pi}_{-\pi} \left[ \frac{1}{2} \left\{ \cos(m-l) t - \cos (m+l)t \right\} \right] \\ &= \frac{1}{2} \int^\pi_{-\pi} \cos (m-l)t dt - \frac{1}{2} \int^\pi_{-\pi} \cos(m+l)t dt \\ &= A \end{aligned}$$ $m \n..

[SS] Orthogonal function : inner product가 0

Orthogonal이란 어떤 두개의 대상이 Othrogoanl (직교)하다는 의미는 해당 두 대상의 inner product의 결과가 0이라는 의미이며, 두 대상이 각각에 대해 공유하는 component가 없음을 의미한다. 가장 쉬운 예가 orthogonal vector로서 column vector의 경우 다음이 성립하면 orthogonal이라고 한다. $$\textbf{u}=\langle u_1, \dots, u_N \rangle \\ \textbf{v}=\langle v_1, \dots, v_N \rangle \\ \textbf{u}\cdot\textbf{v}=\textbf{u}^T\textbf{v}= \sum_{i=1}^N u_i v_i = 0$$ $N$ : $\textbf{u}$와 $\textbf..

[SS] Spectrum 이란?

Spectrum은 어떤 복잡한 대상(or signal)을해당 대상(or signal)을 구성하고 있는 단순한 여러 개의 대상들(or singals)로 분해하여 표시한 것을 가르킴. 예를 들어 백색광의 경우, 여러 파장의 빛으로 구성되는데이들 여러 파장의 빛을 분리하여 표현한 것이 바로 백색광의 spectrum이 된다.(빛의 color는 파장에 따라 할당되기 때문에 프리즘 등을 통해 빛을 분해해서 보는 것이 바로 spectrum이라고 할 수 있다.)Specturm은 "여러 가지 signals가 혼재된 signal"로부터 정확히 어떤 signals가 있는지를 분리하여 표현한다. 참고로, 보통 Signal Processing에서 spectrum은 signal을 frequency domain으로 표현한 것을 가..

[SS] 1st canonical form and 2nd canonical form

1st canonical form(제1표준형)과 2nd canonical form(제2표준형)은 서로 transpose (전치관계)임 즉, 입력과 출력을 바꾸고 화살표의 방향을 반대로 하면 동일해짐. 위의 그림은 다음의 differential equation에 대한 canonical form임. $$\dfrac{d^2y(t)}{dt^2}+3\dfrac{dy(t)}{dt}+2y(t)=\dfrac{dx(t)}{dt}$$ $$(D^2+3D+2)y(t)=Dx(t)$$ 각 canonical form에 대한 수식표현은 다음과 같음. 1st canonical form $$y(t)=-3D^{-1}y(t)-2D^{-2}y(t)+D^{-1}x(t)$$ 2nd canonical form $$v(t)= -3D^{-1}v(t)..

[SS] System and Differential Equation

Differential Equation으로 System을 기술할 경우, 초기조건을 포함한 differential eq.은 system의 완전한 동작특성을 기술할 수 있음. complete solution을 구하기 위해 필요한 초기조건의 갯수는 order의 수만큼임. Impulse response로 표기할 경우, system의 zero-state response만을 구할 수 있는 제한이 있지만 Differential Equation의 경우 그런 제한이 없다는게 장점임. 하지만, impulse response의 경우보다 풀기가 어렵고, response를 파악이 impulse response를 이용하는 것보다 직관적이지 않다는 단점을 지님. 때문에, Differential Equation은 직접 사용되기 보다..

[SS] RL Circuit : differential equation 으로 풀기.

다음의 RL회로를 미분방정식으로 풀기 $t=0$에서 스위치가 닫힘. 위의 회로에서 입출력 및 초기조건은 다음과 같음. input : $E$ (voltage) output : $i(t)$ (current) initial condition : $i(t=0)=i_0=0$ (inductor L의 $t=0$에서의 전류.) 1. Differential Equation KVL에 의하여 다음이 성립 $$\begin{aligned} L\frac{di(t)}{dt}+Ri(t) &= E \\ \frac{di(t)}{dt}+\frac{R}{L}i(t) &= \frac{E}{L} \end{aligned}$$ 2. Homogeneous solution $$\begin{aligned} \frac{di_h(t)}{dt}+\frac{..

[SS] System Response

System의 Response는 다음과 같이 3가지 기준으로 분류할 수 있음. Zero-input response vs. Zero-state response "누가 response를 만드는가? (초기조건 vs. 외부입력)" 를 기준으로 분류하는 방식이며 다음과 같은 2가지로 구성됨. Zero-input response 초기 조건에 의한 응답 $(t=0^{\color{red}{-}})$ 외부 입력이 전혀 없을 때 일어나는 시스템의 반응 외부 입력에 독립적(입력=0)인 시스템 자체의 내부 조건에 대한 응답 오직 시스템이 지닌 고유한 특성이 (내부적으로) 관여하여 빚어낸 결과 $\left[y_h(t)\right]_{\text{초기조건 @ } t=0^{\color{red}{-}}}$ Zero-state resp..

[SS] System 표현하기 : Impulse Response vs. Differential Equation

System 이란? System은 하나의 신호를 다른 신호로 매핑(mapping) 또는 변형(transform)하는 규칙 System 표현 (기술, representation) 이를 기술하는 가장 좋은 방법은 다음 두가지임. impulse response (h) 를 이용한 표현 impulse response (h) 가 주어질 경우, convolution을 이용하여 (zero-state) output signal을 구할 수 있음. 외부 입력(=impulse)에 대한 system response 제공(=zero-state response). 입력이 인가되기 전의 system 내부 상태에 의한 system response(=zero-input response)는 알 수 없음. differential equat..

[SS] 주기 신호의 합에서의 주기 (Period)

다음과 같은 주기신호 $x_1(t)$와 $x_2(t)$가 있다고 하자. $$x_1(t) = x_1(t + kT_1) \\ x_2(t) = x_2(t + lT_2)$$ $k, l$은 임의의 integer (정수) $T_1$은 $x_1(t)$의 주기. $T_2$은 $x_2(t)$의 주기. 이 두 주기신호를 합치면 다음과 같음. $$x_3(t) = x_1(t)+x_2(t)=x_1(t + kT_1) + x_2(t + lT_2)$$ $x_3(t)$가 $T$마다 반복되는 주기신호가 되기 위해서는 다음이 성립해야함. $$T=kT_1 = lT_2 \rightarrow \frac{T_1}{T_2} = \frac{l}{k}$$ 이는 더해지는 신호들의 주기들의 비(ratio)가 rational number가 되어야 함을 의..