[SS] Orhtogonal Function : sin

$\sin$ signal 은 interval $[-\pi,\pi]$에서 orthogoanl function(직교 함수)임.

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다음을 참고.

$$\begin{aligned} \int^{\pi}_{-\pi} f_m (t) f^{*}_{l} (t) dt &= \int^{\pi}_{-\pi} \sin (mt) \sin (lt) dt \\ &= \int^{\pi}_{-\pi} \left[ \frac{1}{2} \left\{ \cos(m-l) t - \cos (m+l)t \right\} \right] \\ &= \frac{1}{2} \int^\pi_{-\pi} \cos (m-l)t dt - \frac{1}{2} \int^\pi_{-\pi} \cos(m+l)t dt \\ &= A \end{aligned}$$

$m \ne l$ 인 경우,

$$\begin{aligned}A&=\frac{1}{2} \int^\pi_{-\pi} \cos a t dt - \frac{1}{2} \int^\pi_{-\pi} \cos b t dt \\ &= 0 - 0 =0 \end{aligned}$$

• $ a= m-l $
• $ b= m+l $

$m = l$ 인 경우,

$$\begin{aligned}A&=\frac{1}{2} \int^\pi_{-\pi} \cos 0 t dt - \frac{1}{2} \int^\pi_{-\pi} \cos k t dt \\ &=\frac{1}{2} \int^\pi_{-\pi} 1 dt - 0 \\ &= \frac{1}{2}[t]^{\pi}_{-\pi} - 0 \\ &= \frac{1}{2} [\pi - (-\pi)] \\ &=\pi \end{aligned}$$

• $ k= 2m = 2l $

즉, $\sin$ 함수를 interval $[-\pi,\pi]$에서 inner-product한 결과는 다음과 같음.

$$ A = \left\{ \begin{matrix} \pi, & m=l \\ 0, & m\ne l \end{matrix} \right. = \pi \delta [m-l] $$

 

위에서 보이듯이,
$\sin$ 함수는 interval $[-\pi,\pi]$ 자기 자신을 제외한 다른 함수와의 innder product가 0이므로 Orthogonal function임.

2023.10.04 - [.../Signals and Systems] - [SS] Orthogonal function : inner product가 0

[SS] Orthogonal function : inner product가 0

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참고

• $$\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} \left[ \sin(\alpha-\beta) + \sin (\alpha+\beta) \right]$$
• $$\sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2} \left[ \cos(\alpha-\beta) - \cos (\alpha+\beta) \right]$$
• $$\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} \left[ \cos(\alpha-\beta) + \cos (\alpha+\beta) \right]$$