[SS] 1장 관련 Quiz (풀이포함)

1. 다음 함수의 주기는?

$$x\left( t \right) =\cos { (t) } +3{ e }^{ -j2t }$$

Sol.

$$ \cos { (t) } \rightarrow { T }_{ 1 }=2\pi \\ 3{ e }^{ -j2t }\rightarrow \frac { 2\pi }{ { T }_{ 2 } } =2\rightarrow { T }_{ 2 }=\pi \\ \frac { { T }_{ 2 } }{ { T }_{ 1 } } =\frac { \pi }{ 2\pi } =\frac { 1 }{ 2 } \\ T=\frac { { T }_{ 1 }{ T }_{ 2 } }{ GCD\left( { T }_{ 1 },{ T }_{ 2 } \right)} =2\pi $$

• 주기 $T$와 주파수 $f$, 그리고 각주파수 $\omega$에서
• $T=\frac { 2\pi }{ \omega } ,\omega =2\pi f$
• 가 성립함을 주의할 것
• GCD = Greatest Common Divisor!

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2. 다음 함수의 주기는?

$$
x\left( t \right) ={ e }^{ j\frac { \pi t }{ 2 } }\cos { \left( \frac { \pi }{ 3 } t \right) }
$$

Sol.

$$ \begin{eqnarray} x\left( t \right) & = & { e }^{ j\frac { \pi t }{ 2 } }\left\{ \frac { { e }^{ j\frac { \pi t }{ 3 } }+{ e }^{ -j\frac { \pi t }{ 3 } } }{ 2 } \right\} \\ \quad & = & \frac { 1 }{ 2 } \left\{ { e }^{ j\frac { \pi t }{ 2 } }{ e }^{ j\frac { \pi t }{ 3 } }{ +e }^{ j\frac { \pi t }{ 2 } }{ e }^{ -j\frac { \pi t }{ 3 } } \right\} \\ \quad & = & \frac { 1 }{ 2 } \left\{ { e }^{ j\frac { 5\pi t }{ 6 } }+{ e }^{ j\frac { 1\pi t }{ 6 } } \right\} \end{eqnarray}\\ $$

$$ { T }_{ 1 }=\frac { 2\pi }{ \frac { 5\pi }{ 6 } } =\frac { 12 }{ 5 } ,{ T }_{ 2 }=\frac { 2\pi }{ \frac { \pi }{ 6 } } =12\rightarrow \frac { { T }_{ 2 } }{ { T }_{ 1 } } =\frac { 12 }{ \frac { 12 }{ 5 } } =5\\ T=\frac { \frac { 12 }{ 5 } \times 12 }{ GCD\left( \frac { 12 }{ 5 } ,12 \right) } =\frac { \frac { 12 }{ 5 } \times 12 }{ \frac { 12 }{ 5 } } =12 $$

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3. $x(t)$가 주기함수일 때, 다음의 함수의 주기는 (비주기 함수일 수도 있음)?

$$
y\left( t \right) ={ e }^{ x\left( t \right) }
$$

Sol.

$$
x(t)=x(t+T) \\
{ e }^{ x\left( t \right) }={ e }^{ x\left( t+T \right) }\\
y\left( t \right) =y\left( t+T \right)
$$

• 즉, 주기는 $T$로서 $x(t)$의 주기와 일치함.

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4. 다음의 참/거짓을 고르시오.

• 어떤 신호는 energy signal이면서 power signal일 수도 있다. [T/F]
• deterministic signal은 시간에 따른 값의 변화를 정확히 예측할 수 있지만, 통계적 성질은 불규칙하다. [T/F]
• 유한한 신호 값을 갖는 모든 주기 신호는 power signal이다. [T/F]
• $x(t)=3t^2$ 은 energy signal도 power signal도 아니다. [T/F]

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5. 다음 신호의 파형을 그려보라. 그리고 해당 신호가 Energy signal인지 Power signal인지 아니면 둘다 아닌지를 기재하라 (단, a는 임의의 real number임.).

$$
x(t)= e^{-at}u(t)
$$

Sol.

i) if $a>0$

$$
\begin{aligned}
E &= \int^\infty_{-\infty} | e^{-at}u(t)|^2 dt \\
& = \int^\infty_0 e^{-2at} dt \\
& = \frac{-1}{2a} \left[e^{-2at}\right]^\infty_0 \\
& =\frac{1}{2a} \end{aligned} $$

• $0<E <\infty$이므로 energy signal이 됨.

ii) if $a=0$

$$ \begin{aligned} E & = \int^\infty_0 e^{-2at} dt \\
& = \int^\infty_0 1 dt \\
P &= \underset{T\rightarrow \infty}{\lim} \frac{1}{T} \int^\frac{T}{2}_0 e^{-2at} dt \\
&=\underset{T\rightarrow \infty}{\lim} \frac{1}{T} \int^\frac{T}{2}_0 1 dt \\
& = \underset{T \rightarrow \infty}{\lim} \frac{1}{T} \left[t \right]^{\frac{T}{2}}_{0} \\
& = \frac{1}{2} \end{aligned} $$

• 즉, power signal.

iii) if $a<0$

$$ \begin{aligned} E & = \int^\infty_0 e^{-2at} dt \\
& = \infty \\
P &= \underset{T\rightarrow \infty}{\lim} \frac{1}{T} \int^\frac{T}{2}_0 e^{-2at} dt \\
& = \underset{T\rightarrow \infty}{\lim} \left[- \frac{e^{-2at}}{2aT} \right]^{\frac{T}{2}}_{0} \\
& = \underset{T\rightarrow \infty}{\lim} \frac{1-e^{-aT}}{2aT} \\
& = \infty \end{aligned} $$

• energy signal도 power signal도 아님.

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6. 다음 적분을 구하시오.

$$
\int ^\infty _{-\infty} \exp(t-4)\delta(3t-12)dt
$$

Sol.

$$ \begin{aligned} \int ^\infty_{-\infty} \exp(t-4)\delta(3t-12)dt &= \int ^\infty_{-\infty} \exp(t-4)\frac{1}{|3|}\delta(t-4)dt \\
& = \left. \frac{1}{3}\exp(t-4)\right |_{t=4} \\
&=\frac{1}{3} \end{aligned} $$