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[Math] The Law of Total Probability
The Law of Total Probability (전확률의 법칙) $E_0, E_1, ... , E_{N-1}$이 sample space $S$의 partition이고, $P(E_i)>0$이면 다음이 성립 $$ P(A)=\displaystyle \sum^{N-1}_{i=0}P(B_i)P(A|B_i) $$ 위가 성립하는 것을 Law of Total Probability라고 부름. $P(A\cap B_i)=P(B_i)P(A|B_i)$으로 교집합의 확률을 얻어냄. Mutually exclusive 이면서 Exhaustive인 모든 partition들에 대해 계산할 경우 전체 확률을 얻어낼수 있음. sample space가 partition으로 구분되어진 경우 복잡한 확률을 partition으로 분해하여 간..
[Math] Probability Distribution
Probability Distribution Probability Distribution은 특정 random variable(확률 변수)이 취할 수 있는 각각의 값에 대한 확률을 나타내는 분포임. Probability Distribution Function으로 기술되며, random variable이 어떤 값을 얼마나 자주 취하는지를 나타냄. 이를 통해 random variable의 특성과 동작을 이해할 수 있음. Definition of PDF random variable $X$가 가질 수 있는 특정한 value $x$와 이 $x$에 대응하는 확률을 매핑하고 있는 function. PDF는 abbreviation of Probability Distribution Function. pdf는 probabi..
[Math] 확률에서 Partition: Mutually Exclusive and Exhaustive
Partition: Mutually Exclusive and Exhaustive Partition을 이해하기 위해선 event들의 관계를 나타내는 용어인 Mutually Exclusive와 Exhaustive 를 먼저 알아야 함. Mutually Exclusive(상호 배타적) Mutually Exclusive Event란 두 개 또는 그 이상의 event가 동시에 발생할 수 없는 관계를 가르킴. 즉, 한 이벤트의 발생이 다른 이벤트의 발생을 완전히 배제시킴. 예를 들어, 동전을 한 번 던졌을 때 앞면이 나오는 event와 뒷면이 나오는 event는 mutually exclusive. 한 번의 동전 던지기에서 앞면과 뒷면이 동시에 나올 수 없음. 수학적으로, 두 이벤트 A와 B가 상호 배타적일 경우, 그..
[Math] 확률의 법칙들
Multiplication Law (곱셈법칙) : intersection 확률이 0이 아닌 2개의 event $A$, $B$에 대해, $$ p(A,B)=p(A\cap B)=p(A)p(B|A)=p(B)p(A|B), (\text{if } p(A)>0,p(B)>0) $$ $p(A,B)$를 흔히 joint probability(결합확률, 연접확률)이라고 부름. Joint probability vs. Conditional probability 술(A)을 마시고 사고(B)가 일어날 확률 ← joint probability 술(A)를 마셨을 때 사고(B)가 일어날 확률 ← conditional probability Addition Law (덧셈법칙) : union 2개의 event $A,B$에 대해 합사건의 확률 (..
[Math] Conditional Probability and Joint Probability
Conditional Probability (조건부 확률) Event $F$가 발생한 조건 하에 Event $E$가 발생할 확률이 바로 conditional probability임. $$ p(E|F)=\dfrac{p(E,F)}{p(F)} $$ 조건에 의해, sample space가 변함. 조건에 의해 변화된 sample space에서의 확률을 구하는 것임. 예제 한 가족에서 두 아이들의 성별 맞추기 가정 1. 각각의 아이가 딸이거나 아들일 확률은 0.5로 동일. 가정 2. 둘째의 성별은 첫째의 성별과 independent. 1) 두 아이가 모두 딸이 아닌 경우의 확률은? 2) 딸 한명과 아들 한명일 확률은? 3) 두 아이 모두 딸일 확률은? 각각 1/4, 1/2, 1/4 전체 경우를 따져보면 다음과 같기..