Definition$$\| \mathbf{u} + \mathbf{v} \| \le \|\mathbf{u}\| + \|\mathbf{v}\|$$증명https://youtu.be/4Q6kMzzVgcw 같이보면 좋은 자료들https://bme808.blogspot.com/2022/10/norm.html Norm (노름)Vector 및 matrix의 크기에 해당하는 양(magnitude) 을 구하는 연산 으로 사용됨. The higher the norm index ($p$값이 클 경우), the more it focuses on large values and neg...bme808.blogspot.com2023.08.22 - [.../Math] - [Math] The Cauchy-Schwarz Inequalit..

Basis $B=\{\mathbf{b}_1, \dots, \mathbf{b}_n\}$을 사용하여 $\mathbb{R}^n$의 특정 point $\mathbf{x}$를 나타내는 coordinate $\mathbf{c}$인 경우, 다음이 성립함.$$\begin{aligned}\mathbf{x} &= c_1 \mathbf{b}_1 + \dots + c_n \mathbf{b}_n \\ &= \begin{bmatrix} \mathbf{b}_1 & \cdots & \mathbf{b}_n \end{bmatrix} \mathbf{c} \\ &= A_{B} \mathbf{c} \\ &= A_{B} [\mathbf{x}]_B\end{aligned}$$$A_B$ :basis $B$에서 standard basis of $\m..

수학에서 isomorphism(동형)은 두 개의 수학적 구조가 본질적으로 동일하며, 서로 1:1 대응되는 관계를 의미한다. 즉, 한 구조에서 수행하는 연산과 관계를 다른 구조에서도 동일하게 수행할 수 있을 때, 우리는 이 두 구조가 “동형”이라고 애기함. 다음은 isomorphism을 graph로 예를 든 것임:1. 2차원 벡터와 점의 표현2차원 벡터 $\mathbf{v} = \langle a, b\rangle$는 다음 두 가지 방식으로 표현할 수 있음.2차원 좌표 평면의 한 점 $(a,b)$로 표현이는 평면 위의 특정한 위치를 나타냄.원점에서 시작하여 점 $(a, b)$까지 이어지는 화살표(벡터)로 표현이는 크기와 방향을 가진 수학적 객체로서 해석 가능.이 두 표현은 서로 다른 방식이지만, 둘 다 평면..

예제함수 $f(x) = x^2$, domain $X = [-2, 2]$ 를 예제로 하여 domain, codomain, image, range, preimage, coimage 를 구해봄.Domain (정의역): $X = [-2, 2]$입력값의 범위: $-2 \le x \le 2$Codomain (공역): $Y = \mathbb{R}$ (실수 전체)가능한 모든 출력값의 집합Image (상): $\{y | y = x^2, x \in [-2, 2]\}$실제 출력값의 범위최솟값: $x = 0$일 때, $f(0) = 0$최댓값: $x = \pm 2$일 때, $f(\pm 2) = 4$따라서 $\text{image} = [0, 4]$Range (치역): $[0, 4]$image와 동일.image들의 집합을 가리키는..

$A\mathbf{x} = \mathbf{b}$와 4개의 Fundamental Subspaces$A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ 는 Linear System을 나타내는 Matrix Equation이면서, $\mathbb{R}^n$에서 $\mathbb{R}^m$으로의 Linear Transform을 나타냄.여기에서 4개의 중요한 Subspace 가 존재하며, 이를 이해하면 consistent에 대한 보다 깊은 이해 및 선형변환에서의 domain과 image등을 vector space로 파악할 수 있게 됨.0. Prerequisites더보기2024.10.28 - [.../Math] - [Math] Basis [Math] Basis기저(Basis)는 vector space (또는 function..

LU factorization 을 조금 변형한 형태. (U가 REF인 LU factorization과 달리, LDU의 경우 RREF임)2024.02.17 - [.../Linear Algebra] - [LA] Gauss-Jordan Elimination (including Gauss Elimination) and LU Factorization [LA] Gauss-Jordan Elimination (including Gauss Elimination) and LU FactorizationSystem of Linear Equations (연립방정식)의 Solution를 구하는 가장 표준적인 방법.Gauss Elimination을 좀 더 보강한 방법(컴퓨터 없이 연립일차방정식 계산할 경우 가장 일반적으로 사용됨)..