[SS] Harmonic (조화파) 이란?

Harmonic 이란?

harmonic 은 periodic signal 을 구성하는 기본 요소로서,
Fundamental Frequency (기본 주파수, $\Omega_0$) 의 정수배에 해당하는 주파수 성분, $k\Omega_o (k \text{ is int})$을 의미.

 

2023.06.16 - [.../Signals and Systems] - [SS] Periodic Signal (주기신호)

[SS] Periodic Signal (주기신호)

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1. 수학적 정의

Period가 $T$인 신호의 Fundamental Frequency 를 $\Omega_0 = \frac{2\pi}{T}$라고 할 때,
n-th harmonic은 다음과 같이 정의:

• n-th harmonic 의 (회전, 각) 주파수: $\Omega_n = n\Omega_0 = n\frac{2\pi}{T}$
• n-th harmonic 의 주기: $T_n = \frac{T}{n}$

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2. Harmonic 의 표현 형태

결국 특정 frequency에 대응하는 harmonic 은 frequency 를 나타내는 일반적인 경우처럼 다음의 두가지 기본 형태로 표현됨.:

2-1. Trigonometric Function 형태

• cosine (여현): $\cos(n\Omega_0 t)$
• sine (정현): $\sin(n\Omega_0 t)$

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2-2. Complex Exponential Function 형태

• $e^{jn\Omega_0 t}$ 또는 $e^{-jn\Omega_0 t}$

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2-3. Euler's Identity 에 의한 상호 변환 가능:

2023.10.25 - [.../Math] - [Math] Euler’s Constant (자연상수, 오일러 상수) / Euler's Identity

[Math] Euler’s Constant (자연상수, 오일러 상수) / Euler's Identity

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$$e^{jn\Omega_0 t} = \cos(n\Omega_0 t) + j\sin(n\Omega_0 t)$$

 

Harmonics는 periodic signal을 구성하는 기본요소이기 때문에, 무한개의 harmonics의 series를 통해 periodic signal을 표현할 수 있음: 이같은 표현법이 그 유명한 Fourier Series 임.

2025.04.26 - [.../Signals and Systems] - [SS] Fourier Series (푸리에 급수)

[SS] Fourier Series (푸리에 급수)

 

삼각함수 형태:
$$f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}[a_n \cos(n\Omega_0 t) + b_n \sin(n\Omega_0 t)]$$

 

복소지수 형태:
$$f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{jn\Omega_0 t}$$

여기서 $a_n$, $b_n$, $c_n$은 각 harmonic의 amplitude와 phase를 결정하는 coefficient임.

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3. Harmonic 의 주요 특성

1. 주파수 관계: 모든 harmonic 의 주파수는 기본 주파수의 정수배
2. 주기 관계: n-th harmonic 의 주기는 기본 주기의 1/n
3. 직교성: 서로 다른 harmonic들 (대응하는 주파수가 다름)은 직교(orthogonal)하여 독립적으로 분석 가능
4. 완비성: 모든 주기 함수는 harmonic들의 조합으로 표현 가능 (Fourier Series)