[Math] Euler’s Constant (자연상수, 오일러 상수)

가장 유명한 irrational number(무리수)로 대략 2.718281... 정도의 크기를 가짐.

가장 유명한 극한값이기도 함: $0,1,\pi,e$ 는 가장 중요한 4가지 수라고도 불릴 정도이며 공학자에게 $e$는 정말 정말 중요함.

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Definition

$$\begin{aligned}e&=\lim_{n \to \infty}\left( 1+\frac{1}{n}\right)^n \\ &= \lim_{t \to 0} (1+t)^{\frac{1}{t}},\text{ where }t=\frac{1}{n} \end{aligned}$$

주의할 것은

• $\frac{1}{n}$ (무한소에 해당)이 더해지고 이에 대한 reciprocal인 $n$ (무한대에 해당)이 exponent로 주어진다는 점임.
• 더해지는 수와 exponent가 recipocal 이 성립해야  $e$가 되는 점을 기억할 것.

사실, 전기, 전자, 신호처리 등에서 Euler의 수 (or Euler’s formula) 없이는 주파수 관련된 수식 대부분을 사용할 수 없다.

1에 무한소를 더하고 나서
더한 수의 reciprocal(역수)인 무한대로 제곱을 하면
바로 자연상수 $e$가 된다:
1의 무한대는 1인 것과 다름. 

Taylor Expansion

2023.02.27 - [.../Math] - [Math] Taylor Expansion and Taylor Theorem (테일러 전개)

[Math] Taylor Expansion and Taylor Theorem (테일러 전개)

 

암기(?)용 동영상
https://youtu.be/jcSi_uVrpSs?si=YiQRqVJpM1iVspgD

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주요 성질

$$\begin{aligned}e^x &= \underset{n \to \infty}{\lim} \left( 1+\frac{x}{n}\right)^n \\ &= 1+x + \frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!} +\dots \end{aligned}$$

• 위의 등식은 정의에 의해서,
• 아래의 등식은 Taylor's Expansion 에 의해

Euler's Identity

이 Euler's constant를 이용한 Euler's identity : Trigonometric functions 와 complex exponential functions를 이어줌.

$$e^{j\omega}=\cos \omega +j \sin\omega \\ e^{j\pi}+1=0$$

• $x$ : real number.
• $j=\sqrt{-1}$ : imaginary number
• $w$ : radian 임.

https://youtu.be/ujHat6veADE

 

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Poisson Distribution에서의 사용.

binomial distribution에서 Poisson distribution을 유도할 때, 다음의 전개과정이 사용됨.

•  $\lambda$ : Poisson distribution의 mean / binomial distribution의 $Np$
• $N$ : binomial distribution에서의 Bernoulli trial 시행횟수

$$\begin{aligned}\lim_{n \to \infty} \left( 1-\frac{\lambda}{n}\right)^n &=\lim_{n \to \infty} \left( 1 +\left(-\frac{\lambda}{n}\right)\right)^n\\&=\lim_{n \to \infty} \left( 1 +\left(-\frac{\lambda}{n}\right)\right)^{-n\frac{-\lambda}{\lambda}}\\&=\lim_{n \to \infty} \left( 1 +\left(-\frac{\lambda}{n}\right)\right)^{-\frac{n}{\lambda}(-\lambda)}\\ &= \lim_{t \to 0} \left(1+\frac{1}{t}\right)^{t(-\lambda)},\text{ where }t=-\frac{n}{\lambda}\\&=e^{-\lambda}\end{aligned}$$

2023.03.14 - [.../Math] - [Math] Binomial Distribution (이항분포)

[Math] Binomial Distribution (이항분포)

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신호처리에서의 활용 : complex expontial signal

2023.09.19 - [.../Signals and Systems] - [SS] Complex Exponential Signals

[SS] Complex Exponential Signals