[Math] Poisson Distribution (포아송분포)

Poisson Distribution이란?

아주 가끔 일어나는 사건(trial)에 대한 확률 분포 : 방사선 검출에 주로 사용되는 확률분포라 의료영상에서는 매우 많이 사용됨.

 

몇가지 예를 들면 다음과 같음:

• 전체 인구수에서 연간 백혈병으로 사망 건수
• 특정 지역에서 발생하는 살인사건 건수나 군대의 연간 사망건수

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1. Probability Mass Function (pmf)

Poisson distribution에서 평균 발생 건수(mean)가 $\lambda$인 경우에 $x$번 발생할 확률은 다음과 같음.

(Poisson distribution의 pmf)

$$ \text{Poisson}(x;\lambda)=\frac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!} $$

• 이는 binomial distribution에서 $N$을 무한대로 보내고, mean이었던 $\mu=Np=\lambda$로 치환하여 얻어짐.
  • 일반적으로 $N \ge 10$, 성공확률 $p\le 0.1$인 binomial distribution인 경우 Poisson distribution과 유사함.
• 즉, 발생확률 $p$가 매우 낮은 경우 면서 시행횟수 $N$이 무한대인 binomial distribution임.
• Poisson 분포에서 $\lambda$가 충분히 커지면 확률분포가 Normal distribution과 같아짐.

$\lambda$가 커질수록 normal distribution과 유사한 모양을 보임.

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[Math] Binomial Distribution (이항분포)

2023.10.25 - [.../Math] - [Math] Normal Distribution (정규분포)

[Math] Normal Distribution (정규분포)

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참고: 다른 확률분포와의 관계

Poisson Distribution을 따르는  Poisson Trial이 일정횟수 $\alpha$회 발생하기 까지 대기 시간은 Gamma Distribution을 따름. 

• 포아송 분포는 단위 시간 동안 사건이 발생한 횟수를 모델링하고,
• 감마 분포는 포아송 과정에서 일정 횟수의 사건이 발생할 때까지의 대기 시간을 모델링.

Exponential Distribution은 Poisson Trial이 1회 발생하기까지의 대기시간으로 Gamma Distribution의 특별한 경우(parameter $\alpha=1$인 Gamma Distribution)

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[Math] Exponential Distribution

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2. 적용조건 (= Poisson process를 따를 조건, Poisson trial의 조건):

💡 Poisson Probability Distribution을 보이는 경우 (Poisson process)의 조건.

1. 각각의 단위 시간 (~각 단위시간은 중첩되지 않음) 동안 사건 발생 수는 서로 independent(독립)
2. 극히 작은 기간(~ 충분히 짧은 기간)에 둘 이상의 사건이 발생(~ 동시에 2건 이상의 사건이 발생)할 확률은 0으로 간주.
   • 예를 들어 10분에 평균 10건의 신고가 접수된다면,
   • 1초 동안 2건 이상의 신고가 접수될 확률은 0으로 간주할 수 있음.
3. 단위 시간은 더 작은 단위 시간들로 나누어질 수 있으며, 이 경우 작은 단위 시간에서 사건이 발생할 확률은 더 작아짐: 발생 확률은 해당 단위 시간의 구간 길이에 비례함.
   • 어떤 단위시간에 사건 발생 확률이 $p$이라면, 기간 $t$동안 평균 발생 건수는 $\lambda =pt$임. ◀ 발생확률이 시간에 비례!!
   • $p$가 매우 낮고, 기간 $t$동안 사건 발생이 독립적이고, 해당 발생확률이 시간에 비례하면 Poissson분포를 따름.
   • 이 경우, 해당 사건이 $t$동안 사건이 $x$번 발생할 확률은

$$ P[X(t)=x]=\dfrac{(\lambda t)^x}{x!}e^{-\lambda t}, x=0,1,2,\dots $$

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3. Derivation (◁ Poisson Limit Theorem )

binomial distribution에서 유도됨

$$\begin{aligned} \text{Bin}(x;N,\mu) &= \left(\begin{matrix}N \\ x \end{matrix} \right) \mu^x(1-\mu)^{N-x}\\ &=\dfrac{N!}{x!(N-x)!}\mu^x(1-\mu)^{N-x} \end{aligned}$$

 

Binomial distribution에서

• $N$을 무한대로 (무수히 많이 실행),
• $\mu$를 무한소로 (매우 낮은 확률) 보내고,
• $N\mu=\lambda$ 라고 할 경우,

Poisson distribution이 됨.

 

$$ \lim_{N\to\infty}\frac{N!}{x!(N-x)!}\mu^x(1-\mu)^{N-x} $$

 

우선, $N$의 trial에서 $\lambda$번 성공한다고 하면 $\mu=\frac{\lambda}{N}$이 됨.

$$ \begin{aligned}\lim_{N\to\infty}\frac{N!}{x!(N-x)!}\mu^x(1-\mu)^{N-x}&=\lim_{N\to\infty}\frac{N!}{x!(N-x)!}\left(\frac{\lambda}{N}\right)^x\left(1-\frac{\lambda}{N}\right)^{N-x}\\&=\lim_{N\to\infty}\frac{N!}{x!(N-x)!}\left(\frac{\lambda}{N}\right)^x\frac{\left(1-\frac{\lambda}{N}\right)^N}{\left(1-\frac{\lambda}{N}\right)^x}\\&=\lim_{N\to\infty}\frac{N(N-1)(N-2)\cdots1}{x!(N-x)(N-x-1)\cdots1}\left(\frac{\lambda}{N}\right)^x\frac{\left(1-\frac{\lambda}{N}\right)^N}{\left(1-\frac{\lambda}{N}\right)^x}\\&=\lim_{N\to\infty}\frac{N(N-1)(N-2)\cdots(N-x+1)}{x!}\left(\frac{\lambda}{N}\right)^x\frac{\left(1-\frac{\lambda}{N}\right)^N}{\left(1-\frac{\lambda}{N}\right)^x}\\&=\lim_{N\to\infty}\frac{N^x(1-\frac{1}{N})(1-\frac{2}{N})\cdots(1-\frac{x-1}{N})}{x!}\left(\frac{\lambda}{N}\right)^x\frac{\left(1-\frac{\lambda}{N}\right)^N}{\left(1-\frac{\lambda}{N}\right)^x}\\&\approx\lim_{N\to\infty}\frac{N^x}{x!}\left(\frac{\lambda}{N}\right)^x\frac{\left(1-\frac{\lambda}{N}\right)^N}{\left(1-\frac{\lambda}{N}\right)^x}\\&=\lim_{N\to\infty}\frac{1}{x!}N^{x}\left(\frac{\lambda^x}{N^x}\right)\frac{\left(1-\frac{\lambda}{N}\right)^N}{\left(1-\frac{\lambda}{N}\right)^x}\\&=\lim_{N\to\infty}\frac{1}{x!}\left(\frac{\lambda^x}{1}\right)\frac{\left(1-\frac{\lambda}{N}\right)^N}{\left(1-0\right)^x}\\&=\frac{1}{x!}\left(\frac{\lambda^x}{1}\right)\frac{\underset{N \to \infty}{\lim}\left(1-\frac{\lambda}{N}\right)^N}{\left(1-0\right)^x}\\&=\frac{1}{x!}\left(\frac{\lambda^x}{1}\right)\frac{e^{-\lambda}}{1}\\&=\frac{\lambda^xe^{-\lambda}}{x!}\end{aligned} $$

 

위의 유도에서 $\displaystyle\lim_{N \to \infty}\left(1-\frac{\lambda}{N}\right)^N=e^{-\lambda}$

이에 대한 상세한 유도는 다음을 참고

2023.10.25 - [.../Math] - [Math] Euler's Number (자연상수, 오일러 수) / Euler's Identity

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4. 특성

• 분포의 특성상, positive영역에만 존재함.
• Poisson distribution에서 mean과 variance는 같음.

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5. Moments

5-1. Expected Value (=mean)

• $\lambda$

5-2. Variance

• $\lambda$

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참고: Sum of two independent Poisson variables

💡 Poisson분포를 따르는 두 개의 독립된 random variable의 합도 Poisson 분포임.

 

 

$X \sim P(\lambda)$ and $Y\sim P(\mu)$ meaning that $X$ and $Y$ are Poisson distributions.

What is the probability distribution law of $X+Y$.

Answer : $X+Y \sim P(\lambda+\mu)$

• 단, 곱은 poisson이 아님. 단, 독립일 경우 평균은 서로의 평균을 곱한 값임.

증명

$$ \begin{aligned} P(X+ Y =k) &= \sum_{i = 0}^k P(X+ Y = k, X = i)\\ &= \sum_{i=0}^k P(Y = k-i , X =i)\\ &= \sum_{i=0}^k P(Y = k-i)P(X=i)\\ &= \sum_{i=0}^k e^{-\mu}\frac{\mu^{k-i}}{(k-i)!}e^{-\lambda}\frac{\lambda^i}{i!}\\ &= e^{-(\mu + \lambda)}\frac 1{k!}\sum_{i=0}^k \frac{k!}{i!(k-i)!}\mu^{k-i}\lambda^i\\ &= e^{-(\mu + \lambda)}\frac 1{k!}\sum_{i=0}^k \binom ki\mu^{k-i}\lambda^i\\ &= \frac{(\mu + \lambda)^k}{k!} \cdot e^{-(\mu + \lambda)} \end{aligned} $$

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