Cauchy-Schwarz Inequality
Vector space V의 모든 vector u, v에 대해 성립하는 다음의 부등식 관계를 의미함.
|⟨v,u⟩|≤‖
where
- \langle \textbf{u}, \textbf{v} \rangle : vector \textbf{u}와 \textbf{v}의 inner product.
- |x| : scalar x에 대한 absolute value.
- \|\textbf{u}\|: \textbf{u}의 norm.
증명.
\textbf{u} = \textbf{0} 인 경우, Cauchy-Schwarz Inequality의 양 side가 0이되어 등식이 성립.
\textbf{u} \ne \textbf{0} 인 경우, \textbf{u}에 의한 spanned subspace W에 대해 \textbf{v}를 projection으로부터 Cauchy-Schwarz Inequaility가 유도됨.
\begin{aligned}\|\text{proj}_W\textbf{v}\|&=\left \|\frac{\langle\textbf{v},\textbf{u}\rangle}{\langle \textbf{u},\textbf{u} \rangle}\textbf{u} \right\| \quad \leftarrow \|c\textbf{u}\|=|c|\|\textbf{v}\|\\ &= \left| \frac{\langle \textbf{v}, \textbf{u} \rangle}{\langle \textbf{u}, \textbf{u} \rangle} \right| \|\textbf{u}\| \\ &= \frac{|\langle\textbf{v},\textbf{u}\rangle|}{|\langle \textbf{u},\textbf{u} \rangle|}\|\textbf{u}\| \\ &= \frac{|\langle\textbf{v},\textbf{u}\rangle|}{\|\textbf{u} \|^2}\|\textbf{u}\| \\ &= \frac{|\langle\textbf{v},\textbf{u}\rangle|}{\|\textbf{u} \|} \end{aligned}
\| \text{proj}_W \textbf{v}\| \le \|\textbf{v}\|가 항상 성립하므로 다음을 얻을 수 있음.
\frac{ | \langle \textbf{v}, \textbf{u} \rangle | }{\| \textbf{u} \|} \le \|\textbf{v}\| \\ | \langle \textbf{v}, \textbf{u} \rangle | \le \|\textbf{v} \| \|\textbf{u}\|
참고자료
https://blog.naver.com/skkong89/222469897198
코시-슈바르츠 부등식 Cauchy-Schwarz's Inequality 간단 설명 (STAT-110)
본 내용은 STAT-110 강의 28번의 일부 내용 정리입니다. 자세한 내용은 해당 강의를 참고하세요. 이 교...
blog.naver.com
코시-슈바르츠 부등식의 증명 (동영상) | 벡터의 내적과 외적 | Khan Academy
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