Cauchy-Schwarz Inequality
Vector space V의 모든 vector u, v에 대해 성립하는 다음의 부등식 관계를 의미함.
|⟨v,u⟩|≤‖v‖‖u‖
where
- ⟨u,v⟩ : vector u와 v의 inner product.
- |x| : scalar x에 대한 absolute value.
- ‖u‖: u의 norm.
증명.
u=0 인 경우, Cauchy-Schwarz Inequality의 양 side가 0이되어 등식이 성립.
u≠0 인 경우, u에 의한 spanned subspace W에 대해 v를 projection으로부터 Cauchy-Schwarz Inequaility가 유도됨.
‖projWv‖=‖⟨v,u⟩⟨u,u⟩u‖←‖cu‖=|c|‖v‖=|⟨v,u⟩⟨u,u⟩|‖u‖=|⟨v,u⟩||⟨u,u⟩|‖u‖=|⟨v,u⟩|‖u‖2‖u‖=|⟨v,u⟩|‖u‖
‖projWv‖≤‖v‖가 항상 성립하므로 다음을 얻을 수 있음.
|⟨v,u⟩|‖u‖≤‖v‖|⟨v,u⟩|≤‖v‖‖u‖
참고자료
https://blog.naver.com/skkong89/222469897198
코시-슈바르츠 부등식 Cauchy-Schwarz's Inequality 간단 설명 (STAT-110)
본 내용은 STAT-110 강의 28번의 일부 내용 정리입니다. 자세한 내용은 해당 강의를 참고하세요. 이 교...
blog.naver.com
코시-슈바르츠 부등식의 증명 (동영상) | 벡터의 내적과 외적 | Khan Academy
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