[Math] Random Variable의 연산에 따른 Mean과 Variance.

Mean (or Estimated Value)

Random Variable의 mean (여기선 arithmetic mean을 의미)은 linear equation으로 얻어짐.

때문에 다음과 같이 Random variable $X$와 $Y$, constant $a$와 $b$에 대해 linearity가 성립함.

• $E[a] =a$
• $E[aX]=aE[X]$
• $E[aX+b]=aE[X]+b$
• $E[X+Y]=E[X]+E[Y]$
• $E[aX+bY]=aE[X]+bE[Y]$

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Random vairable간의 곱에서의 mean은 다음과 같이 구해짐.

• $E[XY]=\sum \sum xy P(X=x, Y=y)$

결합확률분포에 대한 연산으로 두 random variable간의 correlation등의 고려등으로 계산이 복잡함.

만약 독립이라고 가정할 경우 다음과 같이 단순해짐.

• $E[XY]=E[X]E[Y]$

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Variance

Random Variable의 Variance는 quadratic equation으로 구해짐.

때문에 다음이 성립 (단, 두 Random variable의 합의 경우, 두 variable이 independent 여부가 중요함)

• $\text{Var}[aX+b]=a^2\text{Var}[X]$
• $\text{Var}[X\pm Y]=\text{Var}[X]+\text{Var}[Y]$ : $X$와 $Y$가 독립인 경우
• $\text{Var}[X\pm Y]=\text{Var}[X]+\text{Var}[Y] \pm 2 \text{Cov}[X,Y]$ : $X$와 $Y$가 독립이 아닌 경우

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Random vairable간의 곱에서의 variance는 다음과 같이 구해짐.

• $\text{Var}[XY]=E[ (XY- E[XY]^2)] = \sum \sum [ (xy - E[XY])^2] P(X=x, Y=y)$

결합확률분포에 대한 연산으로 두 random variable간의 correlation등의 고려등으로 계산이 복잡함.

만약 독립이라고 가정할 경우 다음과 같이 단순해짐.

• $\text{Var}[XY]=\text{Var}[X](E[Y])^2 + (E[X])^2\text{Var}[Y]+\text{Var}[X]\text{Var}[Y]$

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참고 : Covariance (공분산)

$$\text{Cov}[X,Y] = E[ (X-E[X])(Y-E[Y]) ] = E[XY] - E[X]E[Y]$$

 

2022.05.01 - [.../Math] - [Statistics] Covariance vs. Correlation

[Statistics] Covariance vs. Correlation