[Math] log (logarithmic) function

Definition of Logarithmic Function

$a>0, a\ne1$일 때

$x>0$인 $x$에 대하여

$a^y=x$이면

$$
y=\log_a x
$$

로 나타내고 $y$는 $a$를 base로 하는 logarithmic function 이라 한다.

• 이때, $x$를 $\log_a x$의 진수 (antilogarithm)라함.

Exponential functions 의 inverse function 이
바로 logarithmic function임.
$$x=a^y \rightarrow y=\log_a x$$

 

이는 다음과 같이 애기할 수 있음.

$$a^y=a^{\log_a x}=x$$

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Common Log (상용로그)

고등학교까지는 common log를 $\log$로 표시하는 게 일반적이나,
대학교에선 $\log$가 보통 natural log를 의미함.
공학 분야에서는 natural log가 일반적이기 때문에,
일반 프로그래밍 라이브러리에서도 `log` 함수는 natural log임.

base가 10인 log.

$$
y=\log_{10}x = \log x
$$

import numpy as np

np.log10(100) # 2

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Natural Log

base가 $e$인 log.

$$y=\log_ex=\ln x$$

2023.10.25 - [.../Math] - [Math] Euler’s Constant (자연상수, 오일러 상수)

[Math] Euler’s Constant (자연상수, 오일러 상수)

import numpy as np

np.log(10) # 2.30258...
np.exp(3)  # e^3

import math

math.log(9,3) # 3을 base로, 하지만 numpy에 비해 활용도 떨어짐. 

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Exponentiation 과 Log의 성질

1. $a^xx^y = a^{x+y}$
2. $(a^x)/ (a^y)= a^{x-y}$
3. $(a^x)^y=a^{xy}$
4. $(a/b)^x= (a^x) / (b^x)$
5. $\log_a xy = \log_ax + \log_ay$
6. $\log_a(x/y) = \log_ax - \log_ay$
7. $\log_ax^y = y \log_ax$ : 5번의 성질에서 같은 수로 n번 곱해진 것이 n제곱임.
8. $\log_bx = (\log_ax)/(\log_ab)$ : 2023.08.13 - [.../Math] - [Math] log의 base 변환하기.
   • $\log_bx = \frac{1}{\log_xb}$ : 8번에서 base $a$를 $x$로 
   • $\log_ab \log_ba = 1$
   • $\log_{a^m}b^n=\frac{n}{m}\log_a b$ : 8번과 7번을 이용.

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Graph

아래는 base가 1보다 큰 $e$인 경우이며, y-axis를 asymptote (점근선) 으로 가지고 있음.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns
sns.set()

x = np.linspace(0.001, 5, 1000)
y = np.log(x)

plt.title('logarithmic function')
plt.plot(x,y)
plt.axhline(0, c='r')
plt.axvline(0, c='r')
plt.axvline(1, c='r', ls='--')
plt.xlabel(r'$x$')
plt.ylabel(r'$\log_e(x)$')
plt.show()

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특징

• $0<x\le1$인 범위에서 기울기가 매우 가파르고,
  $1$ 이상인 경우엔 기울기가 급격히 줄어들게 됨.
  • $0$에 가까운 양의 값들인 $(0,1)$ 매우 넓은 범위로 펼쳐주는 효과가 있음
    ($0<x<1 \Rightarrow -\infty <y=\log(x)<0$)
  • 이 같은 특징으로 probability(확률)의 변수를 넓은 범위로 확장하는 경우 많이 사용됨.
• 이와 대조적으로 1 이상인 값들은 매우 좁은 구간으로 좁혀줌.
• 양수값만을 함숫값으로 가지는 function의 경우 (← $\log$의 domain이 positive만 가능함),
  $\log$를 적용해도 해당 함숫값의 max와 min이 나오는 위치는 변하지 않음.
  • $\underset{x}{\mathrm{argmax}}\ f(x)=\underset{x}{\mathrm{argmax}}\ \log f(x)$ , $\underset{x}{\mathrm{argmin}}\ f(x)=\underset{x}{\mathrm{argmin}}\ \log f(x)$
• 곱하기를 더하기로 바꿈 ("antilogarithm의 곱"은 각 "log의 합"으로) : 위의 5번 성질 확인.
  • $\displaystyle \log \left( \prod_i x_i \right)=\sum_i \left( \log x_i\right)$
  • 이는 "나누기"는 "차"로 바뀜을 의미함 : 위의 6번 성질.
  • 독립인 event들의 probability의 product를 사용하는 likelihood에서 log를 사용하여 summation으로 바꿔줌.