[Math] Exponential Distribution

Exponential Distrubtion

지수 분포(Exponential distribution)의 수식은 다음과 같음:

확률 밀도 함수(PDF):

$$
f(t; \lambda) =
\begin{cases}
\lambda e^{-\lambda t}, & t \geq 0 \\
0, & t < 0
\end{cases}$$

여기서:

• $t$는 랜덤 변수(관측값)
• $\lambda$는 비율 매개변수(rate parameter)로, $\lambda > 0$
• $e$는 Euler constant(자연 상수,약 2.71828...)

2023.10.25 - [.../Math] - [Math] Euler’s Constant (자연상수, 오일러 상수) / Euler's Identity

[Math] Euler’s Constant (자연상수, 오일러 상수) / Euler's Identity

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Definition

발생확률 이 낮으면서 평균 $\lambda$건 발생하는 사건 (사건의 expected value가 $\lambda$)이 $x$번 발생할 확률은 Poisson분포를 따르는데, 여기서 해당 사건이 발생하는데 걸리는 시간의 분포가 바로 Exponential distribution을 따름(연속확률분포).

• Poisson distribution을 “기준 시간 동안 발생한 사건 횟수"의 분포라고 하면,
• Exponential distribution은 단위시간당 $\lambda$건 발생하는 경우에 해당 사건이 “시간 $t$동안 사건이 발생하지 않을 확률"로서 대기시간이 $t$일 확률의 분포라고 할 수 있음.
• Gamma distribution에서 $\alpha=1$인 경우임!
• 이는 parameter가 $\lambda$로 단위시간당 평균 발생건수임.

즉, 평균 발생 건수의 expected value(기댓값)이 $\lambda$인 경우,
(또는 특정 기간 $t$ 동안 사건 발생의 expected value가 $\lambda t$인 경우,)
최초 사건 발생까지의 대기시간 (=random variable $T$)이 $t$ 일 확률은 Exponential distribution을 따르며 pdf는 다음과 같음.

$$f(t;\lambda)=\lambda e ^{-\lambda t}$$

• $t$ 나 $\lambda$ 는 Poisson distribution에서 유도된 특성 상, 모두 positive여야 함.

2023.10.25 - [.../Math] - [Math] Poisson Distribution (포아송분포)

[Math] Poisson Distribution (포아송분포)

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Cumulative Distribution Function (CDF):

$$F(t; \lambda) =
\begin{cases}
1 - e^{-\lambda t}, & t \geq 0 \\
0, & t < 0
\end{cases}$$

 

$F(t) = P(T \le t)$ 확률 변수 $T$의 CDF(누적 분포 함수)는 모든 실수 $t$에 대해 $T$가 $t$ 이하의 값을 가질 확률을 나타내는 함수.

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NumPy에서의 매개변수 변환:

NumPy의 np.random.exponential() 함수에서는 scale 매개변수를 사용함.

• 이는 rate parameter $\lambda$의 reciprocal임.:

$$\text{scale} = \beta = \frac{1}{\lambda}$$

 

따라서 NumPy 함수에 대응하는 확률 밀도 함수(PDF)는:

$$f(t; \beta) =
\begin{cases}
\frac{1}{\beta} e^{-t/\beta}, & t \geq 0 \\
0, & t < 0
\end{cases}$$

 

여기서 $\beta$는 scale 매개변수를 가리킴.

# mean과 std가 2인 exponetial distribution을 따르는
# 1000개의 sample instance로 이루어진 1차원 배열을 반환.
data2 = np.random.exponential(2, 1000)  # 지수 분포

 

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통계적 성질:

• 평균(Mean, Expected Value):
  • $E[T] = \beta = \frac{1}{\lambda}$
  • 단위시간당 $\lambda$ 번 발생하는 사건의 경우, 대기 시간이 평균적으로 $\frac{1}{\lambda}$임읠 의미함.
• 분산(Variance): $Var[T] = \beta^2 = \frac{1}{\lambda^2}$
• 표준 편차(Standard Deviation): $\sigma = \beta = \frac{1}{\lambda}$
• 중앙값(Median): $\beta \ln(2) = \frac{\ln(2)}{\lambda}$
• 최빈값(Mode): 0

이 수식에서 볼 수 있듯이,

• Exponential Distribution은 $t \geq 0$인 영역에서만 정의되며,
• $t$가 증가할수록 확률 밀도가 지수적으로 감소.

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참고: Laplace Distribution

양쪽을 exponential을 가진 경우 Laplace Distribution이라고 부름:

$$f(x;\mu, b) = \frac{1}{b} \exp \left( - \frac{|x-\mu|}{b} \right)$$

2025.01.13 - [.../Math] - [Math] Laplace Distribution

[Math] Laplace Distribution