[Math] Probability Distribution

Probability Distribution

Probability Distribution은 특정 random variable(확률 변수)이 취할 수 있는 각각의 값에 대한 확률을 나타내는 분포임.

• Probability Distribution Function으로 기술되며,
• random variable이 어떤 값을 얼마나 자주 취하는지를 나타냄.
• 이를 통해 random variable의 특성과 동작을 이해할 수 있음.

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Definition of PDF

random variable $X$가 가질 수 있는 특정한 value $x$와 이 $x$에 대응하는 확률을 매핑하고 있는 function.

• PDF는 abbreviation of Probability Distribution Function.
• pdf는 probability density function.

$$
P_X(C)=Pr[X\le C]
$$

• $Pr[X \le C]$ : 확률변수 $X$가 $C$보다 같거나 작은 값을 가질 확률.

이 PDF는 다음의 성질을 가짐.

• $0\le P_X(C)\le 1$
• $P_X(-\infty)=0$
• $P_X(\infty)=1$
• $P_X(C_1) \le P_X(C_2)$, for $C_1 \le C_2$

다른 이름으로는
cumulative distribution function (cdf)라고도 불림.

 

다음과 같이 뒤에 다루는 pmf 또는 pdf의 적분 형태로 기재할 수 있음.

• $\text{cdf}(c)=\displaystyle \sum_{x\le c} \text{pmf}(x)$
• $\text{cdf}(c)=\displaystyle \int_{-\infty}^c \text{pdf}(x) dx$

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Exampe of PDF

두 개의 동전을 던졌을 때, 앞면이 나오는 횟수를 random variable X라고 할 경우, probability distribution은 다음과 같음.

$X$	$p(X=x)$	$PDF(X=x)$
0	1/4	1/4
1	1/2	3/4
2	1/4	4/4=1

 

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pdf and pmf

probability mass function (확률질량함수, pmf)

• discrete random variable (취할 수 있는 값이 유한하거나 셀수 있음) 의 probability distribution (확률분포)를 기재.
• $f(x)=\left\{\begin{matrix}p(X=x_i) & x=x_i (i=1,2,\dots,k) \\ 0 & \text{others} \end{matrix}\right.$
  • 모든 $X$에 대해 $f(x)\ge0$
  • $\displaystyle \sum_S f(x)=1$
  • $S$ : sample space : $x\in S$

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probability density function (확률밀도함수, pdf)

• continuous random variable (취할 수 있는 값이 연속적으로 셀 수 없음=무한개) 의 probability distribution (확률분포)를 기재.
• 확률변수 $X$와 확률밀도의 관계를 나타내는 함수.
• 특정값에 대한 pdf의 값은 0임. (구간으로 입력해야 값을 가짐) : $\int_c^cf(x)dx=0$
  • 특정 구간에 대한 적분값은 0이상.
  • 확률변수 $X$가 두 수 $x_1$와 $x_2$ 사이에 놓일 확률은 pdf $f(x)$의 아래 $x_1$과 $x_2$ 사이의 면적과 같다.
  • $p(x_1 \le X \le x_2) = \displaystyle \int_{x_1}^{x_2} f(x)dx$
  • 전체 면적은 1.
  • $\underset{S}{\int} f(x) dx = 1$
  • $S$ : sample space : $x\in S$

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