[Math] 확률에서 Partition: Mutually Exclusive and Exhaustive

Partition: Mutually Exclusive and Exhaustive

Partition을 이해하기 위해선 event들의 관계를 나타내는 용어인 Mutually Exclusive와 Exhaustive 를 먼저 알아야 함.

 

Mutually Exclusive(상호 배타적)

Mutually Exclusive Event란 두 개 또는 그 이상의 event가 동시에 발생할 수 없는 관계를 가르킴.

• 즉, 한 이벤트의 발생이 다른 이벤트의 발생을 완전히 배제시킴.
• 예를 들어, 동전을 한 번 던졌을 때 앞면이 나오는 event와 뒷면이 나오는 event는 mutually exclusive.
• 한 번의 동전 던지기에서 앞면과 뒷면이 동시에 나올 수 없음.

수학적으로, 두 이벤트 A와 B가 상호 배타적일 경우, 그들의 교집합은 공집합입니다:
$$P(A\cap B) = \emptyset$$

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Exhaustive (전집적)

Exhaustive 란, 가능한 모든 결과를 나타내고 있는 event set을 의미함.

A set of events that represents all possible outcomes.

• Exhaustive Event는 어떤 결과가 발생하든 Exhaustive Event에 속하는 sample point임.
• 예를 들어, '주사위를 던져 1이 나오는 이벤트', '2가 나오는 이벤트', ..., '6이 나오는 이벤트'는 모두를 합친 union을 가르켜 exhaustive라고 함.

수학적으로, event set ${s_0, s_1, \cdots, s_n}$ 이 다음을 만족할 경우 exhaustive라고 한다.

$$P( s_0 \cup s_1 \cup \cdots \cup s_n) = 1$$

즉, exahustive인 경우 이들 events의 union은 sample space임.

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Partition

다음의 두 조건을 만족하는 event $A_1, \dots, A_k$를 sample space $S$의 partition이라고 함.

1. $\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k}{\cup}}A_i=S$
2. $A_i \cap A_j = \emptyset \quad, i\ne j$

partition을 이루는 evens는 mutually exclusive이면서 exhaustive임.
이러한 이벤트들의 집합은 전체 샘플 공간(sample space)의 완벽한 partition을 제공.

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Law of Total Probability (전확률 법칙)

$E_1, E_2, \dots, E_k$가 $S$의 partition이고, $p(E_i)>0$인 경우 다음이 성립.

$$p(A)=\sum_i^kp(E_i)p(A|E_i) = \sum_i^k p(A,E_i)=\sum_i^kp(A\cap E_i)$$

어떤 event $A$의 확률을 구할 때, 해당 event를 상호배반적이면서 합집합이 $S$인 partition들로 나누어 계산하는 경우가 쉬울 수 있음. 이를 일반화하여 표현한 것이 law of total probability임.