[Math] 확률의 법칙들

Multiplication Law (곱셈법칙) : intersection

확률이 0이 아닌 2개의 event $A$, $B$에 대해,

$$
p(A,B)=p(A\cap B)=p(A)p(B|A)=p(B)p(A|B), (\text{if } p(A)>0,p(B)>0)
$$

$p(A,B)$를 흔히 joint probability(결합확률, 연접확률)이라고 부름.

Joint probability vs. Conditional probability

• 술(A)을 마시고 사고(B)가 일어날 확률 ← joint probability
• 술(A)를 마셨을 때 사고(B)가 일어날 확률 ← conditional probability

Addition Law (덧셈법칙) : union

2개의 event $A,B$에 대해 합사건의 확률 (두 사건 중 하나 이상만 일어나도 됨)

$$
p(A \cup B)=p(A)+p(B)-p(A,B)
$$

• Inclusion-exclusion principle이라고도 함.
• $A,B$가 Mutually exclusive일 경우, $p(A\cup B)=p(A)+p(B)$

Complements : 여사건, 보집합 (보수?)

전체 sample space에서 $A$가 아닌 event. ($A$ event가 발생하지 않은)

$$
A^c=S-A
$$

• complements의 확률 : $p(A^c)=1-p(A)$

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Event의 연산 : 집합에서의 연산

교환법칙

$$ A \cup B = B\cup A, A\cap B = B\cap A$$

결합법칙

$$ A\cup (B\cup C) = (A\cup B) \cup C, A\cap (B\cap C) = (A\cap B) \cap C$$  

분배법칙

$$ A\cap(B\cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C), A\cup(B\cap C)= (A\cup B) \cap (A\cup C)$$

DeMorgan 법칙

$$ (A \cup B)^c = A^c \cap B^c, (A\cap B)^c = A^c \cup B^c$$

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