[Math] Class: set and proper class (클래스와 집합)

Class, Proper Class, and Set

Class

집합론 (Zermelo-Fraenkel set theory)에서

Class는 구별가능한 수학적인 객체 (distinctive object)의 collection을 의미함.

(Set은 collection of distinctive objects라고 말할 수 있으나, 여기에 well-defined 를 추가해줘야 함.)

object(객체)는 주로 숫자가 할당되나, 거의 모든 것이 될 수 있음.
물리적인 객체나 event등에 숫자를 할당하고 이를 set으로 표현 가능.
object는 거의 모든 것을 가르킬 수 있다.

 

Well-defined란
명확하게 잘 정의되어
누구나 같게 해석할 수 있도록 엄밀히 정의됨을 의미함. 

 

많은 조합론이나 집합론의 책을 보면, Russell의 모순을 피하기 위해서 

Class와 Proper Class 란 개념이 추가되어 Set을 명확하게 정의한다.

수학 전공자가 아닌 이를 사용하는 공돌이로서는
굳이 이렇게까지라는 생각이 들 때도 있지만,
수학자들의 특유의 엄밀함의 추구 덕택에
공학적 응용이 가능해지는 것인지라...

솔직히 Theorem을 믿고 진행하는 "수학사용자"에게는 
Class와 Proper Class는 그리 쓸 데가 많은 편은 아니다.

 

Class(클래스)는 구분가능한 객체들의 모임으로서,
Set 또는 Proper Class(고유 클래스)로 나눌 수 있다.

 

즉, 모든 Class는 Set 아니면 Proper Class에 속한다.

쉽게 정리하면
Proper class는 집합이론에서 "공리적 방법으로 정의되거나 다루어지는 set의 조건을 만족시키지 못하지만",
"객체들의 collection인 어떤 구조"를 나타내기 위한 추상적인 개념으로 생각하면 된다.

이를 도입하여
set의 조건을 만족하지 못하여 set으로 간주될 수 없는 collection과 같은 "수학적 구조"를
다룰 수 있게 됨으로서 집합론 등에서 일부 고급 주제의 전개가 가능해진다.

하지만, 개인적으로는 영상처리나 기계학습 등의 응용에서는 set의 개념만 이용해도 큰 어려움이 없다고 본다.

 

Class에서 주로 사용되는 기술은 포함되는지 여부이다.

• $a \in A$ : class $A$는 $a$라는 object를 포함한다.
  • 이때 $a$는 class $A$의 element 또는 member라고 한다.
• $a \notin A$: class $A$는 $a$라는 object를 포함하지 않는다.

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Set과 Proper Class를 비교설명하면 다음과 같다.

Set:

• A set is a (well-defined) collection of distinct objects.
• Each object in a set is referred to as an “element(원소)” or a “member”.
  • Set은 유한(finite, e.g., $\{1, 2, 3\}$)하거나 무한(infinite,  e.g., 모든 자연수로 구성된 집합)함.
• element가 전혀 없는 set을 가르켜 null 또는 empty set(공집합)이라고 하며 $\emptyset$로 표기.
• set이 사용되는 application에서 모든 elements를 가지고 있는 set을 sample space라고 하며 $\Omega$로 표기 (Universal set이라고도 함).
• 주의할 점은 set은 자기자신을 element로 포함할 수 없음. (Russell's paradox와 같은 직관적 집합론의 모순을 피하기 위해 도입된 개념으로 proper class와의 차이점)
• set은 "class 중에서 다른 class의 element가 될 수 있는 class" 임.

집합의 표기는 다음과 같이 brace (=curly bracket)를 이용하며, 다음의 예처럼 쓴다.

$$A=\{x|x=-b, b\in B\}$$

• set $A$는 set $B$의 element $b$에 -1을 곱한 값들을 element로 가짐.

 

위의 예는 Set Builder를 이용하여 Set을 정의 (set의 조건을 지정하는 방식)한 것을 보여주며, 일반적으로는 enumerator를 통해 curly bracket 안에 elements들을 직접 기재하기도 함: $B=\left\{1,2,3\right\}$ 

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Subset (부분집합)

set $A$의 모든 elements가 동시에 set $B$의 elements인 경우, $A$를 $B$의 subset이라고 부르며 다음과 같이 표기함.

$$A \subseteq B$$

 

만약 $A \subseteq B$ 이면서 $A\ne B$인 경우라면, proper subset이라고 함(진부분집합): $A \subset B$

 

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관련 Operations

sample space가 $\Omega$이고, 이에 속하는 set $A$와 $B$에 대해 다음의 집합 연산이 정의됨.

• union (합집합): $A\cup B=\{x|x\in A \vee x\in B\}$
• intersection (교집합): $A \cap B=\{x|x \in A \wedge x \in B\}$
• complement (여집합): $A^c=\{x| x \in \Omega \wedge x \notin A\}$
• difference (차집합): $A-B=\{x\in A \wedge x \notin B\}=A\cap B^c$
• power set (멱집합): set $A$의 power set은 $A$의 모든 subset을 elements로 하는 set.

참고로 위에서 $\wedge$는 논리곱(AND), $\vee$는 논리합(OR)임.

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이를 table(표)로 정리하고, 관련된 법칙을 기재하면 다음과 같음.

Venn diagram으로 본 set operations

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Proper Class:

• proper class 는 set이 아닌 class 를 가르킴.
• 즉, "class 중에서 다른 class의 element가 되지 못하는 class"가 proper class임.
• 유명한 예로는 “the set of all sets” ($\{x|x=x\}$),
  • 모든 집합을 element로 가지는 set은
  • 정의에 따라 자기자신을 element로 포함해야하는데,
  • 이는 set의 정의에 어긋나서 오류가 발생함.
• Russell class $\{x|x \notin x\}$을 들 수 있음. 
  • 자기 자신을 member로 포함하지 않는 모든 set으로 구성된 set.
    • 정의에 의해 자기 자신을 member로 포함하지 않아야 함.
    • 자기 자신을 member 로 하지 않으므로 정의에 의해 자기 자신을 포함해야 한다.
    • 이는 모순이므로, 이같은 set (or collection)을 proper class이라는 정의로 대체.

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Set의 성질

Set이 만족하는 대표적 특성은 다음과 같음.

• set의 subset(부분집합)도 역시 set임.
• set의 union(합집합)도 역시 set임.
• set의 powerset(멱집합)도 역시 set임: $A$의 power set은 $A$의 모든 부분집합을 element로 가지는 set을 가르킴.
• A collection of natural numbers 는 set임.
• function이 정의되고, 해당 function의 domain이 set 이면, 해당 function의 range(치역)도 set임.

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http://m.dongascience.com/news.php?idx=60948

[주말N수학] 천재는 신화일 뿐…'러셀의 역설'과 좌절

https://dsaint31.me/mkdocs_site/CE/ch01/ch01_13_boolean_algebra/#de-morgans-law/

BME228

 

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