[Math] Rational function and irrational function

Rational function (유리함수)

함수 $f(x)$가 $x$에 대한 rational expression(유리식)일 때, $y=f(x)$를 rational function이라 함.

아래와 같은 형태의 function.

 

$$ f(x)=\dfrac{N(x)}{D(x)} $$

 

• 분수에서 분모가 0이 되어선 안 되므로, domain의 범위를 항상 주의해야함.
• 분모가 0인 경우, rational func.의 값은 정의될 수 없음.
• rational function은 algebraic function임.

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참고로,

Rational expression(유리식)은 polynomial expression(다항식)과 fractional expression(분수식)에 대한 generalization이라고 볼 수 있다.

• Numerator가 상수항으로 구성되는 경우가 fractional expression이고,
• Denominator가 상수항일 경우 polynomial expression에 해당한다.

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Irrational function (무리함수) 

함수 $f(x)$가 $x$에 대한 irrational expression(무리식)일 때, $y=f(x)$를 irrational function이라 함.

• 엄밀하게 애기하면, rational function이 아닌 경우가 모두 irrational function임.
  • irrational functions 중에서 $n$-th root-expression(거듭제곱근식)은 algebraic function임.
  • 그 외의 irrational function은 transcendental function(초월함수) 에 포함된다고도 하는데...
  • elementary functions 만으로 한정하는 경우,  irrational function은 $n$-th root expressoin 의 형태로만 생각해도 된다고 함. (수학 전공자가 부러울 때가 많음. ㅋ)
• complex number로 확장하지 않을 경우(AI 응용에선 real number만으로 한정해도 충분)로 한정한다면,
  • 근호($\sqrt[n]{\quad}$ , radical sign) 안에 들어가는 수 $n$이 even number일 경우, 반드시 양수여야 하므로 domain이 제한이 됨.
  • $n$이 odd number인 경우는 제한 없음.
• 예

$$f(x)=\sqrt[n]{x}$$

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