[SS] Complex Exponential Signals

Complex Exponential Signals

신호처리에서 주파수 성분을 분석하고 이를 나타내는데 핵심적인 역할을 함.

(Fourier Transform에서 Basis function으로 사용됨)

 

$$Ae^{z}=Ae^{s}=Ae^{\sigma + j \omega t} = Ae^{\sigma}e^{j\omega t} = A e^\sigma (\cos \omega t +j \sin \omega t)$$

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Continuous-time Sinusoidal Signal

주기신호 Continuous-time sinusoidal signal은

• 특정 angulary frequency $\omega$와
• phase $\phi$, 그리고
• amplitude $A$로 정의된다.

$$ A\sin (\omega t+\phi) \\ A\cos(\omega t+ \phi)$$

 

이를 exponent가 imaginary number로 구성된 complex exponential signal 로 표현할 수 있다.

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우선, complex exponential signal $A e^{j(\omega t + \phi)}$는

• imagnary component와 : $j A \sin (\omega t +\phi)$
• real component로 :$ A \cos (\omega t + \phi)$

합으로 표현된다.

이를 달리 말하면 다음과 같음.

• Euler's identity에서의 angle을 anuglar frequency $\omega$와 time $t$의 곱으로 나타낸 $e^{\omega t}$에
• amplitude $A$와 phase$\phi$를 의미하는 $Ae^{\phi}$를 곱해준 것임.

 

위의 내용은 Eulser's identity에 근거한다.

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Euler's identity

Euler's identity (or Euler's equation)에 의해 다음이 성립함

angular freq. 관련 항
$$
\begin{aligned}e^{j\theta} &= \cos \theta + j \sin \theta \\ e^{j\omega t} &= \cos \omega t +j \sin \omega t \end{aligned}
$$

phase 및 amplitude 관련 항
$$
\begin{aligned}e^{j\theta} &= \cos \theta + j \sin \theta \\ Ae^{j\phi} &= A(\cos \phi +j \sin \phi ) \end{aligned}
$$

위의 둘을 곱하면 다음이 성립.

$$\begin{aligned}Ae^{j\phi}e^{j\omega t} &= A e^{j (\omega t +\phi)} \\ &= A (\cos (\omega t+\phi) +j \sin (\omega t+\phi)) \end{aligned}$$

 

2023.10.25 - [.../Math] - [Math] Euler’s Constant (자연상수, 오일러 상수)

[Math] Euler’s Constant (자연상수, 오일러 상수)

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Sin과 Cos에 대한 Complex Exponential Function표현.

결국, 다음과 같이 complex exponential function의 합으로 sinusoidal function을 나타낼 수 있음.

$$ \cos \omega t = \dfrac{e^{j\omega t} + e^{-j \omega t}}{2} \\ \sin \omega t = \dfrac{e^{j\omega t} - e^{-j \omega t}}{2} $$

 

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감쇠 또는 증가하는 sinusoidal signal

일정하게 반복되는 sinusoidal signal의 경우엔, imaginary exponent만 있어도 되지만,
amplitude가 시간에 따라 감쇠 또는 증가하는 경우엔 real exponent도 필요함.

 

우선 exponent $s=\sigma + j\omega$ 의 complex number로 표현한 complex exponential function $e^{st}$를 생각해보자.

$s=\sigma$로 real number인 경우에서 $e^{\sigma t}$는 다음의 세가지 중 하나가 됨.

• $\sigma > 0$인 경우 Exponetial Growing Signal,
• $\sigma = 0$인 경우 일정한 DC Signal
• $\sigma < 0$인 경우 Exponetial Decaying Signal,

이를 앞서의 일정한 amplitude로 반복되는 sinusoidal signal을 나타내는 $Ae^{j (\omega t +\phi)}$ 에 곱해주면 다음이 성립함.

$$\begin{aligned}e^{\sigma t}Ae^{j (\omega t +\phi)} &= A e^{j \phi} e^{(\sigma +j\omega)t} \\ &= A e^{j \phi} e^{s t} \\ &= A e^{\sigma t} \{ \cos(\omega t+\phi) +j \sin (\omega t + \phi) \}\end{aligned}$$

• $Ae^{\sigma t}$ 를 가르켜서 envelope (포락선, 아래그림에서 점선으로 표시됨) 이라고 부름.
• $s$에서 $\sigma$는 얼마나 growing할지 또는 decaying할지를 나타낸다.
• $s$에서 imaginary component인 $j\omega$는 frequency를 결정함.
• 많은 경우, $A$ 대신 $|A|$를 사용하여 표현하기도 함.

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같이보면 좋은 자료들

https://dsaint31.tistory.com/pages/SS-Continuous-Time-Signal

[SS] Continuous Time Signal

2024.02.26 - [.../Math] - [Math] Exponential Function (지수함수)

[Math] Exponential Function (지수함수)

 

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