[SS] Complex Exponential Signals

Complex Exponential Signals

신호처리에서 주파수 성분을 분석하고 이를 나타내는데 핵심적인 역할을 함.

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Pre-requistes

2024.02.26 - [.../Math] - [Math] Exponential Function (지수함수)

[Math] Exponential Function (지수함수)

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Complex Exponential Function 

신호처리에서 주파수 성분을 분석하고 이를 나타내는데 핵심적인 역할을 함.

(Fourier Transform에서 Basis function으로 사용됨)

$$Ac^t = \lvert A\rvert e^{j \phi} e^{st}= \lvert A \rvert e^{j \phi} e^{(\sigma + j \omega) t} = \lvert A \rvert e^{\sigma t}e^{j(\omega t+\phi)} = \lvert A\rvert e^{\sigma t} [\cos (\omega t+\phi) +j \sin (\omega t+\phi)]$$

• Coefficient $A$ 가 complex number이면 polar form으로 표시하면 $\lvert A \rvert e^{j \phi}$
  • $\lvert A \rvert$ is magnitude.
  • $e^{j\phi}$에서는 initial phase $\phi$가 결정됨.
• $c^t$ 가 complex exponential (=base $c$가 complex number)면 다음이 성립:
  • $c = e^s = e^\sigma e^{j \omega} = r e^{j \omega} $
    • $c = e^s$이니 exponential 이고,
    • $s = \sigma + j\omega$로 complex number ($\sigma$는 real number): $r=e^\sigma$
    • 고로 complex exponential
  • $\lvert c \rvert = e^\sigma$ : amplitude(진폭의)의  지수적 변화 (envelop의 decaying과 growing 을 결정)

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Continuous-time Sinusoidal Signal

주기신호 Continuous-time sinusoidal signal (연속 시간 정현파 신호)은 위에서 $\sigma=0$인 경우로

• 특정 angular frequency $\omega$와
• phase $\phi$, 그리고
• amplitude $A$로 정의된다.

$$ A\sin (\omega t+\phi) \\ A\cos(\omega t+ \phi) \\ T= \frac{2\pi}{\omega} $$

 

여기서 $T$가 period (주기)임.

 

즉 sinusoidal은 complex exponential 에서 $\sigma=0$인 특수한 경우의 실수부 또는 허수부로부터 유도됨.

 

참고:
sin과 cos 모두 정현파임 (cos이 sin에 비해 90도 빠른 phase를 가진다는 위상(phase) 차이만 있을 뿐).
그리고 여현파를 cos을 가리키는 경우도 가끔 볼 수 있는데, 사용하지 말 것! 정현파 용어만 사용하는게 좋음.

 

즉, sinusoidal을 통해 exponent가 imaginary number로 구성된 complex exponential signal ($\sigma = 0$)로 표현할 수 있다.

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우선, complex exponential signal $ A e^{j(\omega t + \phi)}$는

• imagnary component와 : $j A  \sin (\omega t +\phi)$
• real component로 :$  A \cos (\omega t + \phi)$

합으로 표현된다.

$$ A  e^{j(\omega t + \phi)} =  A  [ \cos (\omega t + \phi) + j \sin (\omega t +\phi)]$$

 

이를 달리 말하면 다음과 같음.

• Euler's identity에서의 angle을 anuglar frequency $\omega$와 time $t$의 곱으로 나타낸 $e^{\omega t}$에
• amplitude $A$와 phase$\phi$를 의미하는 $Ae^{\phi}$를 곱해준 것임.

 

위의 내용은 Eulser's identity에 근거한다.

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Euler's identity

Euler's identity (or Euler's equation)에 의해 다음이 성립함

$$e^{j\theta} = \cos \theta + j \sin \theta$$

 

angular freq. 관련 항

$\sigma=0$인 경우라면,
$$
\begin{aligned}e^{j\omega t} &= \cos \omega t +j \sin \omega t \end{aligned}
$$

 

phase 및 amplitude 관련 항

$A$ is complex number.
$$
\begin{aligned} A = \lvert A \rvert e^{j\phi} &= \lvert A \rvert (\cos \phi +j \sin \phi ) \end{aligned}
$$

위의 둘을 곱하면 다음이 성립.

$$\begin{aligned}A e^{j\omega t} &= \lvert A \rvert e^{j\phi}e^{j\omega t} \\ &= \lvert A \rvert e^{j (\omega t +\phi)} \\ &= \lvert A \rvert [ \cos (\omega t+\phi) +j \sin (\omega t+\phi) ] \end{aligned}$$

 

2023.10.25 - [.../Math] - [Math] Euler’s Constant (자연상수, 오일러 상수)

[Math] Euler's Number (자연상수, 오일러 수) / Euler's Identity

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Sin과 Cos에 대한 Complex Exponential Function표현.

결국, 다음과 같이 complex exponential function의 합으로 sinusoidal function을 나타낼 수 있음.

$$ \cos \omega t = \dfrac{e^{j\omega t} + e^{-j \omega t}}{2} \\ \sin \omega t = \dfrac{e^{j\omega t} - e^{-j \omega t}}{2} $$

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감쇠 또는 증가하는 sinusoidal signal: $\sigma \ne 0$

일정하게 반복되는 sinusoidal signal의 경우엔, imaginary exponent만 있어도 되지만,
amplitude가 시간에 따라 감쇠 또는 증가하는 경우엔 real exponent $e^{\sigma}$ 도 필요함.

 

우선 exponent $s=\sigma + j\omega$ 의 complex number로 표현한 complex exponential function $e^{st}$를 생각해보자.

$s=\sigma$로 real number인 경우에서 $e^{\sigma t}$는 다음의 세가지 중 하나가 됨.

• $\sigma > 0, (r=e^\sigma > 1)$인 경우 Exponetial Growing Signal,
• $\sigma = 0, (r=e^\sigma = 1)$인 경우 일정한 DC Signal
• $\sigma < 0, (r=e^\sigma <0)$인 경우 Exponetial Decaying Signal,

이를 앞서의 일정한 amplitude로 반복되는 sinusoidal signal을 나타내는 $\lvert A \rvert e^{j (\omega t +\phi)}$ 에 곱해주면 다음이 성립함.

$$\begin{aligned}e^{\sigma t} \lvert A \rvert e^{j (\omega t +\phi)} &= \lvert A \rvert e^{j \phi} e^{(\sigma +j\omega)t} \\ &= \lvert A \rvert e^{j \phi} e^{s t} \\ &= \lvert A \rvert e^{\sigma t} \{ \cos(\omega t+\phi) +j \sin (\omega t + \phi) \}\end{aligned}$$

• $\lvert A \rvert e^{\sigma t}$ 를 가르켜서 envelope (포락선, 아래그림에서 점선으로 표시됨) 이라고 부름.
• $s$에서 $\sigma$는 얼마나 growing할지 또는 decaying할지를 나타낸다.
• $s$에서 imaginary component인 $j\omega$는 frequency를 결정함.

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Discrete Complex Exponential Function

time $t$ 대신에 index $n$이 사용됨: $T_s$는 sampling interval.

$$x(t) \rightarrow x(nT_s) \rightarrow x[n] \\ A c^{t} = A c^{nT_s}  \rightarrow A(c^{T_s})^n$$

 

$C=A, a = c^{T_s}$라고 하고, 이들이 모두 real number라면 다음과 같은 real exponential function임.

$$x[n] = Ca^n$$

$C$와 $a$가 모두 complex number인 경우, 이들은 다음과 같이 표현 가능.

$$C = \lvert C \rvert e^{j\phi} \\ a = re^{j\Omega} = e^\sigma e^{j\Omega} \\ \Omega = \omega T_s$$

 

이를 $x[n]$에 대입하면,

$$\begin{aligned} x[n] &= Ca^n \\ &= \lvert C \rvert e^{j\phi} \left ( r e^{j\Omega} \right )^n \\ &= \lvert C \rvert r^n e^{j(\Omega n + \phi)} \\ &= \lvert C \rvert r^n [ \cos (\Omega n + \phi) +j \sin (\Omega n +\phi) ]\end{aligned}$$

 

이는 $r = e^{\sigma}$의 값에 따라 증가, 감소, 또는 discrete sinusoidal 중 하나가 됨.

complex exponential의 real component를 도식화.

 

위 그림에서 c)가 바로 discrete complex sinusoidal에 해당함.

 

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같이보면 좋은 자료들

https://dsaint31.tistory.com/pages/SS-Continuous-Time-Signal

[SS] Continuous Time Signal

 

2024.02.26 - [.../Math] - [Math] Exponential Function (지수함수)

[Math] Exponential Function (지수함수)

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