[SS] BIBO Stable System

input과 output으로 나타낸 stable system 

 

Bounded Input Bounded Output (BIBO) stable system 이란?

제한된 input이 입력되면 제한된 output의 출력을 보장하는 stable system.

 

수식으로 보면 input과 output이 다음을 만족함.

$$\begin{matrix} |x(t)| \le B, & \text{for all }t \\ |y(t)| \le C, & \text{for all }t \end{matrix}$$

where,

• $B, C$ : fixed positive finite value (=finite positive constant).
• $|x(t)|$ : $x(t)$의 magnitude. absolute value를 주로 사용.  

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증명

• impulse response의 convolution (system 표현식)에 절대값을 취하면 다음이 성립 (Cauchy-Schwarz Inequality).
  $$|y(t)|=\left| \int^\infty_{-\infty} h(\tau)x(t-\tau)d\tau \right| \le \int^\infty_{-\infty} |h(\tau)||x(t-\tau)| d\tau$$
• input signal이 bounded $|x(t)| \le B, \text{for all }t$라면, 다음이 성립.
  $$\int^\infty_{-\infty}|h(\tau)||x(t-\tau)|d\tau \le B\int^\infty_{-\infty}|h(\tau)| d\tau$$
• system의 출력이 BIBO stable하려면, 다음을 만족해야함.
  $$\int^\infty_{-\infty} |h(t)| dt < \infty$$

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참고 : Stability

• System 동작이 불안하지 않고 꾸준히 동작 가능한지를 나타내는 성질.
• output이 diverge하면 안됨.

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참고자료

2023.08.22 - [.../Math] - [Math] The Cauchy-Schwarz Inequality

[Math] The Cauchy-Schwarz Inequality