[SS] Symmetric Signals

Symmetry에는 다음의 두가지가 존재.

Even Symmetry (우대칭)

$$x(t) = x(-t)$$

대표적인 예로 cos 함수를 들 수 있음.

---

Odd Symmetry (기대칭)

$$x(t)= -x(-t)$$

대표적인 예로 sin함수를 들 수 있음.

---

모든 function은 even symmetric component와 odd symmetric component의 합으로 표현 가능.

다음과 같이 임의의 function $x(t)$는 even symmetric component $x_e(t)$와 odd symmetric component $x_o(t)$의 합으로 표현가능함.

$$\begin{aligned}x(t) &= \frac{x(t)+x(-t)}{2}+\frac{x(t)-x(-t)}{2} \\ &= x_e(t) + x_o(t) \end{aligned}$$

 

$x_e(t)$가 even symmetry를 만족하는 것은 다음을 통해 확인할 수 있음.

$$\begin{aligned} x_e(t) &= \frac{x(t)+x(-t)}{2} \\ x_e(-t) &= \frac{x(-t)+x(t)}{2} \\ x_e(t) &=x_e(-t) \end{aligned}$$

 

$x_o(t)$가 odd symmetry를 만족하는 것은 다음을 통해 확인할 수 있음.

$$\begin{aligned} x_o(t) &= \frac{x(t)-x(-t)}{2} \\ x_o(-t) &= \frac{x(-t)-x(t)}{2} \\ x_o(t) &=-x_o(-t) \end{aligned}$$

 

even symmetric component와 odd symmetric component 를 얻는 방법은 위의 식에서 보이듯이

• Signal의 시간축을 뒤집는 reflection으로 reflected signal $x(-t)$를 얻고,
• 이를 더하거나(even) : even symmetric component
• 빼면(odd) 됨. : odd symmetric component

참고 Reflection 연산:

2023.07.05 - [.../Signals and Systems] - [SS] Shift, Reflecting, Scaling Operation

[SS] Shift, Reflecting, Scaling Operation