[SS] System 표현하기 : Impulse Response vs. Differential Equation

System 이란?

System은 하나의 신호를 다른 신호로 매핑(mapping) 또는 변형(transform)하는 규칙

---

System 표현 (기술, representation)

이를 기술하는 가장 좋은 방법은 다음 두가지임.

• impulse response (h) 를 이용한 표현
  • impulse response (h) 가 주어질 경우, convolution을 이용하여 (zero-state) output signal을 구할 수 있음.
  • 외부 입력(=impulse)에 대한 system response 제공(=zero-state response).
  • 입력이 인가되기 전의 system 내부 상태에 의한 system response(=zero-input response)는 알 수 없음.
• differential equation로 표현.
  • 초기조건을 포함한 differential eq.은 system의 완전한 동작특성을 기술할 수 있음.
  • 대부분 시스템의 전달 함수 (혹은 freq. response)를 구하는데 differential equation이 사용됨.
  • 물리적으로 다음의 여러 소자들을 사용하여 구현됨 : "integrator", "adder or subtractor", "scalar multiplier"

시간 함수로 표현된 신호를 처리하는 system → ordinary differential eq.으로 나타내어짐.

• linear 시스템 → linear differential eq.
• Time invariant 시스템 → 상수계수를 가지는 differential eq.

Linear Time Invariant System은 Linear Constant Coefficient Differential Equation으로 표현된다.

---

Linear Constant Coefficient Differential Equation (LCCDE) for LTI System

LTI System을 나타내는 Linear Constant Coefficient Differential Equation의 standard form은 다음과 같음.

$$\dfrac{dy^n(t)}{dt^n}+a_{n-1}\dfrac{dy^{n-1}(t)}{dt^{n-1}}+a_{n-2}\dfrac{dy^{n-2}(t)}{dt^{n-2}}+\dots+a_{1}\dfrac{dy(t)}{dt}+a_0y(t) \\ = b_{m}\dfrac{dx^{m}(t)}{dt^{m}}+b_{m-1}\dfrac{dx^{m-1}(t)}{dt^{m-1}}+b_{m-2}\dfrac{dx^{m-2}(t)}{dt^{m-2}}+\dots+b_{1}\dfrac{dx(t)}{dt}+b_0x(t)$$

이를 미분연산자 $D$를 사용하여 표기하면 다음과 같음.

$$D^ny(t)+a_{n-1}D^{n-1}y(t)+a_{n-2}D^{n-2}y(t)+\dots+a_1Dy(t)+a_0y(t) \\=b_mD^mx(t) + b_{m-1}D^{m-1}x(t)+\dots+b_1Dx(t)+b_0x(t)$$

• 주의할 것은 leftside의 가장 높은 order의 항(term)의 coefficient는 1이라는 점임.

가장 전형적인 예로 다음의 LR Circuit (low-pass filter)을 기술하는 Differential Equation은 다음과 같음.

여기서 $x(t)=V_\text{IN}$이고 $y(t)=V_\text{OUT}$이라고 하면 Kirchhoff's Voltage Law (KVL)에 의해 다음이 성립함.

$$L\dfrac{di(t)}{dt}+Ri(t)=x(t) \tag{1}$$

또한 $y(t)$는 저항 $R$에 걸리는 voltage이므로 다음이 성립함.

$$y(t)=Ri(t) \rightarrow i(t)=\dfrac{1}{R}y(t) \tag{2}$$

위의 오른쪽 등식의 양변을 미분하면 다음이 성립함.

$$\dfrac{di(t)}{dt}=\dfrac{1}{R}\dfrac{dy(t)}{dt} \tag{3}$$

식2,3을 식1에 대입하면 다음의 differential equation이 유도됨.

$$L\dfrac{1}{R}\dfrac{dy(t)}{dt}+y(t)=x(t)$$

 

표준형으로 만들기 위해 가장 높은 order의 coefficient를 1로 만들려면 $\dfrac{R}{L}$을 곱해주면 됨.

$$\dfrac{dy(t)}{dt}+\dfrac{R}{L}y(t)=\dfrac{R}{L}x(t)$$

 

위의 differential equation이 바로 LR circuit을 기술하는 differential equation임.

---

참고하면 좋은 URL

2023.04.17 - [.../Math] - [Math] Differential Equation 용어.

[Math] Differential Equation 용어.