[Math] Differential Equation 용어.

하나 이상의 Derivative( 도함수, derived function)가 포함된 equation

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Ordinary Differential Equation

• 상미분방정식
• 독립변수가 한 개인 경우.
• $\dfrac{dy}{dx}$ 형태의 derivative.

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Partial Differential Equation

• 편미분방정식
• 독립변수가 2개 이상인 경우.
• $\dfrac{\partial y}{\partial x}$ 형태의 derivative.

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Order

• 계수
• Differential equation에서 가장 많이 미분된 derivative의 미분 횟수!
• Differential equation의 solution을 구하려면, order 와 같은 수의 초기조건이 있어야 함.

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Degree

• 차수
• order를 결정하는 derivative의 몇 제곱인지에 해당.

$$
\color{red} { { \color{black}{\left( \dfrac{d^2y}{dx^2} \right)}}^3}\color{black}{+ \left( \dfrac{dy}{dx} \right)^5+x^2y=0}
$$

• 위의 식에서 3이 바로 degree가 되고, order는 2가 됨.

참고 degree: 2023.06.03 - [.../Math] - [Math] Monomial and Polynomial (단항식 과 다항식)

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Linear Differential Equation

• 선형미분방정식
• 다음과 같은 형태가 바로 n-order linear differential equation의 일반형임.

$$
a_n(t)\dfrac{d^ny}{dt^n}+a_{n-1}(t)\dfrac{d^{n-1}y}{dt^{n-1}}+\cdots+a_1(t)\dfrac{dy}{dt}+a_0y=f(t)
$$

• 모든 coefficient가 Independent variable(독립변수) $t$만의 function임 (or 상수)
• 모든 $y$ (종속변수)와 그 derivative는 1차 이내 (각 항의 degree는 0아니면 1)여야 함.
• 위 식에서 $a_n(t)=1$일 때, 표준형 (Standard form) 이라고 함.
• 비선형의 경우, 일부의 경우를 제외하고 손으로 풀기(analytic method, 해석적 해법 적용)는 어려움(Numerical method 적용해야 함.).
• 선형이라도, order가 2이상인 경우이거나 coefficient들이 상수가 아닐 경우에는 풀기 어려움.
• 독립변수 $t$가 시간일 경우, time-invariant system에 대한 equation은 모든 coefficient가 상수.

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Homogeneous Equation

• 동차(or 제차) 미분방정식
  $$
  a_n(t)\dfrac{d^ny}{dt^n}+a_{n-1}(t)\dfrac{d^{n-1}y}{dt^{n-1}}+\cdots+a_1(t)\dfrac{dy}{dt}+a_0y=0
  $$
• 역학에선 외력(external force)이 없는 경우, 신호처리에선 external input signal이 없는 경우 에 해당 : $f(t)=0$
• Homogeneous는 모든 term(항)의 degree가 1차로 같다는 뜻임.

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Non-homogeneous Equation

• 비동차(or 비제차) 미분방정식
  $$
  a_n(t)\dfrac{d^ny}{dt^n}+a_{n-1}(t)\dfrac{d^{n-1}y}{dt^{n-1}}+\cdots+a_1(t)\dfrac{dy}{dt}+a_0y=f(t),\quad f(t) \ne 0
  $$
• 역학에선 외력이 있는 경우, 신호처리에선 external input signal이 가해진 경우임.

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Linear Homogeneous Equation

• solution에서 Principle of Superposition이 성립.
• 함수 $a$와 $b$가 solution일 경우, 이들의 선형결합 역시 solution임.