[Math] Mean : Measures of Central Tendency

representative value 또는 기대값으로 이용되는 중심경향치.

Mean: Measures of Central Tendency

mean이나 average는

어떤 Data(수들의 집단, 집합)을 나타내는(대표하는, represent) 하나의 수임.

 

어떤 값들의 분포(distribution)의 중앙을 나타내는 값을
Measure of Central Tendency라 하며,
해당 distribution의 representation이라고 볼 수 있음.

Mean :

• sample 또는 population을 대표하는 중심값을 의미하는 수학적 평균.
• 특별한 수식 지정 없이 mean이라고 하면 보통 arithmetic mean(산술평균)을 가리킴.
• 다만 geometric mean, harmonic mean, weighted mean 등 계산 방식이 다른 여러 mean도 존재함.

Average :

• 일상적으로는 arithmetic mean(산술평균)을 가리키는 경우가 많음. 
• 다만 넓은 의미에서는 어떤 값들의 대표값 또는 중심 경향을 의미하는 일반적 · 일상적 표현으로도 쓰일 수 있음.
• mean이 수학·통계 문맥에서 더 엄밀하게 사용되는 반면,
• average는 일상적·실용적 문맥(비전문적 문맥)에서 더 자주 사용됨.

https://byjus.com/maths/difference-between-average-and-mean/

Difference Between Average and Mean | Average vs. Mean

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1. Representative Value (=The center of a distribution of score)

어떤 값들의 분포에서 대표로 사용될 수 있는 metric들은 다음과 같음.

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Mode (Mo, 최빈치):

• The most commonly occuring score.
• The most common value; highest region of a distribution
• 극단적인 값의 영향을 크게 안 받는다는 장점
• 전체 분포에 대한 대표값이 되기 어렵다는 단점을 가짐.

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Median (Mdn, 중앙값):

• The score corresponding to the point having 50% of the observations below it when the observation are arranged in number order.
• Middle value or mean of two middle values.
• 극단적인 값의 영향을 크게 안 받는다는 장점
• 대수연산으로 구하기 어려워서 수식으로 표현되기 쉽지 않으며 대수적 처리를 하기 어려움.

skewed data에서 가장 효과적인 reprensentative value임.

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Mean (mean, 평균, $\mu, \bar{X}$):

• Commonly, the sum of the scores divided by the number of scores. ◀ arithmetic mean

$$
\bar{X}=\dfrac{\sum_{i=1}^N x_i}{N}
$$

• What we normally by “average”.
• 극단적인 값에 영향을 받는 단점을 가짐.
• 일반적인 대수적 처리가 가능하며
• 많은 sample로부터 계산할 경우, mode나 median에 비해 보다 안정적인 population의 추정치를 제공할 수 있음. ← Central Limit Theorem
• Variance가 다른 mean들보다 작게 구해짐.

2022.03.31 - [.../Math] - [Statistics] Central Limit Theorem

[Statistics] Central Limit Theorem

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2. 여러가지 mean

Arithmetic mean (average) 외에도 다음의 mean들이 있음.

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2-1. 기하평균 Geometric Mean

변화율 데이터 (인구성장률, 주식상승률, 물가상승률)를 대상으로

특정 기간(or 구간)에서의 평균 변화율 을 구할 때 이용됨.

경제성장율, 증폭기의 배율 등과 같이 곱한 값이 의미가 있는 경우 사용됨.

 

$$ \begin{aligned} \bar{X}_{\text{G}} &=\displaystyle \sqrt[N]{\prod_{i=1}^N x_i} \\ \ln{\bar{X}_{\text{G}}} &= \dfrac{1}{N}\sum_{i=1}^N\ln x_i \end{aligned} $$

 

• 200% 증가 후 50% 감소 의 경우
  • Arithmetic mean  = $(2+0.5)/2  \times 100 = 125 \%$
  • Geometric Mean = $(2 \times 0.5)^{\frac{1}{2}} \times100= 100\%$

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2-2. 조화평균 Harmonic mean

"고정된 길이의 도로에서의 오고 갈 때의 평균 속력" 이나 "현의 길이에 의한 음의 높낮이(주파수) 등의 평균치"를 구할 때 사용됨.

곱셈이 의미를 가질 때 기하평균이 사용되는 것처럼, 조화평균은 역수가 의미를 가질 때 이용됨.

precision과 recall을
동시에 살피는 F-score가 대표적인 예.

harmonic mean = 주어진 수들의 inverse들의 arithmetic mean의 inverse

 

$$ \bar{X}_{\text{H}}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{N}\displaystyle \sum^N_{i=1}\dfrac{1}{x_i}}$$

• 자동차의 구간별 속도로부터 평균속도를 구하기
• 전기회로에서 병렬연결 저항의 등가저항 구하기
• 금융 등에서 평균 이자율 또는 수익률 구하기. 

조화평균(harmonic mean)은
속도, 비율, 밀도처럼
“단위당 값”의 평균을 구할 때,
특히 같은 거리나 같은 기준량에 대한 평균 rate를 계산할 때 사용됨.

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2-2-1. F Score ( f measure or f-beta score)

F1-score는 

• precision과 recall이라는 두 rate의 산술평균(이때는 분모가 다른 rate들의 평균)이 아니라, 
• TP 1개당 FP 부담과 FN 부담을 함께 반영하기 위한 조화평균(역수를 취함으로 분모가 같아짐)임.
  • $\frac{1}{\text{precision}}=\frac{TP+FP}{TP}=1+\frac{FP}{TP}$
  • $\frac{1}{\text{recall}}=\frac{TP+FN}{TP}=1+\frac{FN}{TP}$

$$
\begin{aligned}F_{\beta}=F&=\dfrac{1}{\alpha\dfrac{1}{\text{precision}}+(1-\alpha)\dfrac{1}{\text{recall}}}\\ &=\dfrac{(\beta^2+1)\text{precision}\times\text{recall}}{\beta^2\text{precision}+\text{recall}}\end{aligned}
$$

• Precision과 Recall이 모두 중요할 경우 $\beta=1, \alpha=0.5$ (F-1 Score)
• Recall이 보다 중요할 경우 보통 $\beta=2 >1, \alpha >0.5$ (F-2 Score)
• Precision이 보다 중요할 경우 $\beta=0.5 <1, \alpha<0.5$

$$\alpha = \beta^2/(1+\beta^2), \beta^2=(\alpha)/(1-\alpha)$$

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3. 기타

3-1. mid-range (범위의 중앙값)

많이 사용되지는 않는 편.

$$M=\frac{x_\text{max}+x_\text{min}}{2}$$

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같이 읽어보면 좋은 자료들

2024.05.02 - [분류 전체보기] - [Math] Example: Measures of Central Tendency

[Math] Example: Measures of Central Tendency