[SS] Fourier Series (푸리에 급수)

Fourier Series

Fourier Series는

• periodic signal (주기함수로 표시됨)을
• 해당 signal의 fundamental frequency(기본주파수, $\Omega_0=\frac{2\pi}{T}$)의 정수배 frequency를 가진 harmonics를 basis로 삼아
• 이들을 각각의 amplitude와 phase를 적절히 조절(=Fourier Series Coefficient를 조절)하고,
• 이들을 더함(series)으로서 표현하는 방법임.

2024.10.28 - [.../Math] - [Math] Basis

[Math] Basis

 

2024.02.16 - [.../Linear Algebra] - [LA] linear combination

[LA] linear combination

 

2023.06.16 - [.../Signals and Systems] - [SS] Periodic Signal (주기신호): Fundamenta Frequency 등에 대해 확인.

[SS] Periodic Signal (주기신호)

 

2025.04.27 - [.../Signals and Systems] - [SS] Harmonic (조화파) 이란?

[SS] Harmonic (조화파) 이란?

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periodic signal $\tilde{x}(t)$를 Exponential Fourier Series (첫째 식)로 나타낸 것과, 이 식에서 $k$번째 harmonic에 대한 Exponential Fourier Series Coefficient $X_k$ (두번째 식)를 나타낸 것은 다음과 같음:

$$\tilde{x}(t)=\sum^\infty_{k=-\infty}X_k e^{jk\Omega_0 t} \\ X_k=\frac{1}{T}\int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}}\tilde{x}(t)e^{-jk\Omega_0 t }dt$$

• Fourier coefficient $X_k$는 complex number로 k-th harmonic의 amplitude와 phase를 결정.
• $X_k = |X_k|e^{j\angle X_k}$로 polar coordinate form으로 표현되며, 
• $|X_k|$가 k-th harmonic의 amplitude이며
• $\angle X_k$가 k-th harmonic의 phase임.
• 또한 $X_k = X_{-k}^*$로 complex conjugate가 성립: Hermitian Symmetry

https://bme808.blogspot.com/2022/11/math-hermitian-symmetry.html

Math : Hermitian Symmetry

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Fourier Series는 periodic signal을 $X_k$ 로 나타내는데,

이는 complex number이므로 amplitude spectrum과 phase spectrum으로 표현됨.

 

간단히 말하면,
Fourier Series는
periodic signal 을
해당 신호의 무한 개의 harmonics에 대한 weighted sum
(=infinite series)으로 표현하는 방법임. 

 

2023.07.21 - [.../Math] - [Math] Sequence (수열) and Series (급수)

[Math] Sequence (수열) and Series (급수)

2022.09.21 - [.../Signals and Systems] - [SS] Orthogonal Function: Complex Exponential Function

[SS] Orthogonal Function: Complex Exponential Function

 

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Fourier Series의 특징.

이는 다음의 특징을 가짐:

• 특정 신호에서 특정 주파수 성분(=하나의 harmonic에 대응)이 얼마나 기여하는지를 분석할 수 있음.
• 복잡한 periodic signal (or periodic function)을 sine과 cosine의 weigthed sum으로 표현함.
• 즉, periodic signal의 또 다른 representation(표현법)이라고도 볼 수 있음.

2022.04.19 - [.../Physics] - [Physics] A periodic representation of wave : sin and cos

[Physics] A periodic representation of wave : sin and cos

 

기존의 impulse function을 basis로 한 linear combination 표현 대신에,

• fundamental frequency의 정수배에 해당하는 harmonics에 대한 cosine과 sine (또는 이를 조합한 complex exponential)을
• basis로 하는 linear combination 표현을 가능하게 해줌.

단, periodic function 에 대해서만 사용가능하다는 단점이 있어서
이를 개선한 Fourier Transform이 보다 많이 사용됨.

2023.12.07 - [.../Signals and Systems] - [SS] Fourier Analysis: 4가지 Fourier Transform 비교

[SS] Fourier Analysis: 4가지 Fourier Transform 비교

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Trigonometric Fourier Series and Complex Exponential Fourier Series

다음은 Trigonometric Fourier Series를 나타냄:

$$\begin{aligned} \tilde{x}(t) &= a_0 + \sum^\infty_{k=1} \left[ a_k \cos k\Omega_0 t + b_k \sin k\Omega_0 t \right], T=\frac{2\pi}{\Omega_0} \\ a_0 &= \frac{1}{T}\int^{t_0+T}_{t_0}\tilde{x}(t) dt \\ a_k &= \frac{2}{T}\int^{t_0+T}_{t_0}\tilde{x}(t) \cos k\Omega_0 t dt, k=1,2, \dots \\ b_k & = \frac{2}{T}\int^{t_0+T}_{t_0} \tilde{x}(t) \sin k\Omega_0 t dt, k = 1,2, \dots \end{aligned}$$

 

• Trigonometric Functions를 basis로 사용하여 표현할 경우, 
• Fourier Series Coefficients $a_k, b_k$이 real number 가 된다는 장점을 가짐.
• k-th Hormonic의 실제 amplitude $A_k$ 은 다음이 성립: $A_k = \sqrt{a_k^2 + b_k^2}$
• k-th Harmonic의 phase $\phi_k$은 다음이 성립: $\phi_k = \tan ^{-1} \left( \frac{-b_k}{a_k} \right)$ 

앞서의 basis인 complex exponential $e^{jk\Omega_0 t}$와 cosine과 sine의 관계는 다음과 같음.

$$\begin{aligned}a_k \cos k\Omega_0 t + b_k \sin k \Omega_0 t &=a_k \frac{e^{jk\Omega_0 t}+d^{-jk\Omega_0 t}}{2} + b_k \frac{e^{jk\Omega_0 t}-e^{-jk\Omega_0 t}}{2j} \\ &= \frac{a_k -j b_k}{2}e^{jk\Omega_0 t} +\frac{a_k +j b_k}{2}{e^{-jk\Omega_0 t}} \\&= X_k e^{j k \Omega_0 t} +X_{-k} e^{-j k \Omega_0 t} \end{aligned}$$

• trigonometric bais에서는 양수의 2개 항들 (left-hand side)이
• compelx exponential 에서는 1개의 음수항과 1개의 양수항 (right-hand side)으로 변함.
• trigonometric basis와 complex exponential bais의 관계는 Euler identity임.

trigonometric functions 와 complex exponeital functions 모두 orthognal function 이며,

특정 주파수를 대표하기 때문에 Frequency Representation의 basis function으로 자주 사용됨.

 

Euler Identity는 다음 url을 참고:

2023.10.25 - [.../Math] - [Math] Euler’s Constant (자연상수, 오일러 상수) / Euler's Identity

[Math] Euler’s Constant (자연상수, 오일러 상수) / Euler's Identity

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주기신호의 Frequency Representation: Fourier Series

Fourier Series는 결국 주기신호의 주파수 성분을 잘 나타내는 표현이다.

 

특정 주파수 성분은

• Orthoganl 성질을 가지면서 주기성(=나타내고자 하는 주파수)을 가진 함수(=Fourier Series에선 Harmonic)를
• Basis Function (기저함수)로 삼고, 이에 대한 complex coefficient로 표시함.
• 이 complex coefficient는 해당 주파수의 amplitude와 phase에 해당함.

이를 쉽게 구하기 위해 orthogonal periodic function을 사용(신호에 inner product를 하면 쉽게 complex coefficient를 구하므로)

• 일반적으로 Trigonometric function (sine and cosine) 또는 이들을 Euler identity를 통해 변환한 Complex Exponential Function이 사용됨.

 

2023.10.04 - [.../Signals and Systems] - [SS] Orthogonal function: inner product가 0

[SS] Orthogonal function: inner product가 0