[SS] Orthogonal Function: Complex Exponential Function

0. Fourier Transform의 Basis Function

지수 함수 (정확히는 복소지수함수)는 대표적인 orthogonal function으로
Fourier transform의 basis로 사용이 된다.

• 구간 $T$에서 Orthogonal function인 경우,
  해당 구간에서 inner product를 취할 때 자기자신과 inner product인 경우를 제외하면 모두 0이 됨.
• 때문에 해당 Orthogonal function 함수에 대한 coefficient를 쉽게 구할 수 있음: basis로 사용되는 이유.
  • 각 Complex Exponential Function은 주파수 성분을 의미함.
  • 대응하는 coefficient는 전체 함수에 해당 주파수 성분의 기여도를 의미함.
• linearly independent만 만족한다면 basis가 될 수 있으나,
  위의 성질 때문에 가급적 orthogonal을 만족하는 녀석들이 basis로 사용됨.

By Gunther - Own work,  CC BY-SA 3.0 ,  WIkimedia Commons

---

1. Orthogonal 확인

다음과 같은 Complex Exponential Function, $f_l(t)$와 $f_k(t)$이 있다고 하자.
$$
f_l (t) = e^{j\frac{2\pi}{T} lt} \\
f_k (t) = e^{j\frac{2\pi}{T} kt}
$$

• $l$과 $k$에 의해 해당 함수들의 frequency가 결정됨.
• $T$는 구간 (~ Period)임.

즉,

• $l$과 $k$가 같다면 동일한 함수이고,
• 다르다면 frequency(or period)가 다른 함수임.

Orthogonal을 만족하려면

• $l$과 $k$가 같은 경우의 둘을 inner product하면 0이 아닌 값이 나오고,
• 다른 경우엔 0이 결과로 나와야 함.

$f_l(t)$와 $f_k(t)$의 inner product는 다음과 같음.
$$
\begin{aligned}\int^T_0 f_l(t) f_k(t)^* dt &= \int^T_0 e^{j\frac{2\pi}{T} lt} e^{-j\frac{2\pi}{T} kt} dt \\
&=\int^T_0 e^{j\frac{2\pi}{T} (l-k)t} dt\end{aligned}
$$

• $j$ : imaginary number

$l \ne k$인 경우 위의 inner product 결과는 Euler identity에 의해 다음과 같음.
$$ \begin{aligned}\int^T_0 e^{j\frac{2\pi}{T} (l-k)t} dt &= \int^T_0 \cos \frac{2\pi}{T} (l-k)t dt + j \int^T_0 \sin \frac{2\pi}{T} (l-k)t dt \\ &= 0+j0 =0\end{aligned}$$

• 즉 해당 구간 $T$에서 주파수가 다른 (~다른 harmonic) complex exponential function 를 내적시 0.

$l = k$인 경우 위의 inner product 결과는 다음과 같음.
$$\begin{aligned} \int^T_0 e^{j\frac{2\pi}{T} (l-k)t} dt &= \int^T_0 \cos \frac{2\pi}{T} (l-k)t dt + j \int^T_0 \sin \frac{2\pi}{T} (l-k)t dt \\ &= \int^T_0 \cos 0t dt + j \int^T_0 \sin 0t =0 \\
&= \int^T_0 1 dt + j 0 \\ &= T\end{aligned} $$

위의 결과는 complex exponential function, $e^{j\frac{2\pi}{T} lt}$이 구간 $T$에서 orthogonal function임을 보여줌.

---

2. 같이 보면 좋은 자료들

2023.10.05 - [분류 전체보기] - [SS] The Spectrum of Continuous Time Signals

[SS] The Spectrum of Continuous Time Signals

 

2023.10.04 - [.../Signals and Systems] - [SS] Orthogonal function: inner product가 0

[SS] Orthogonal function: inner product가 0

---