[Math] Geometric Series (등비급수 or 기하급수)

Geometric Series의 Recurrence Formula (점화식)

$a_n=ar^{n-1}$ 인 경우,

• 첫번째 term이 $a$이고
• common ratio(공비)가 $r$임.

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수식 : Series는 sequence의 합

Geometric Series $S_n$은 $a_1$부터 $a_n$까지의 합으로 다음과 같음.

$$\begin{aligned}S_n&=a+ar^1+ar^2\cdots+a^{n-1}\\&=\sum^n_{k=1}ar^{k-1}\end{aligned}$$

 

1. common ratio $r$이 1이 아닌 경우 다음이 성립.

$$S_n = \frac{a(1-r^n)}{(1-r)}$$

 

유도과정은 다음과 같음.

$$\begin{aligned}S_n&=a+ar+ar^2+\cdots+ar^{n-1}\\rS_n&=ar+ar^2+\cdots+ar^{n-1}+ar^{n}\\S_n-rS_n&=a-ar^n\\(1-r)S_n&=a(1-r^n)\quad,\text{where } r\ne1 \\ \\S_n&=\frac{a(1-r^n)}{1-r} \end{aligned}$$

 

2. common ratio $r =1$인 경우는

$$S_n=na$$

 

가 됨.

 

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신호처리와 Geometric series

신호처리에서는 common ratio의 절대값이 1보다 작은 경우의 infinite geometric series가 많이 사용됨.

 

Infinite geometric series (with $|r|<1$)는 다음과 같음.

$$\sum^\infty_{t=0}ar^t=\underset{n\to\infty}{\lim}\sum^n_{t=0}ar^t=\underset{n\to\infty}{\lim}\frac{a(1-r^n)}{1-r}=\dfrac{a}{1-r}\quad,\text{where }|r|<1$$

 

읽어보면 좋은 자료

https://gosamy.tistory.com/64

수열과 급수의 기초 (Sequence, Series)

 

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