[SS] FT of phase shifted sinusoid!

$f(t)=A\sin (\omega_0 t-\theta)$ 에 대한 Fourier Transform 구하기.

1. phase가 없는 경우를 구하고

$\mathscr{F}[\sin \omega_0 t]$ 는 다음과 같음.

$$\begin{aligned}\mathscr{F}[\sin \omega_0 t] & = \int_{-\infty}^{\infty} \sin \omega_0 t e^{-j\Omega t} dt\\ &= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{j\omega_0 t}-e^{-j\omega_0 t}}{2j} e^{-j\Omega t} dt \\ &= \frac{1}{2j} \left\{ \int_{-\infty}^{\infty} e^{j\omega_0 t} e^{-j\Omega t} dt - \int_{-\infty}^{\infty} e^{-j\omega_0 t} e^{-j\Omega t} dt \right\} \\ &= \frac{-j}{2}\left\{ 2\pi \delta(\Omega -\omega_0)- 2\pi \delta(\Omega+\omega_0)\right\} \\ &= -j\pi \delta(\Omega -\omega_0) +j\pi \delta(\Omega+\omega_0) \end{aligned}$$

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2. Frequency domain에서 phase shift는 Time domain에서의 time shift.

한쪽 domain에서의 (linear) phase shift는 다른 domain에서의 time shift에 해당함.

 

다음은 time domain에서 time shift ($t_0$만큼 delay)가 frequency domain에서 phse shift로 이어짐을 보여줌.

 

$$\begin{aligned} \mathscr{F}[ f(t-t_0) ] &= \int_{-\infty}^\infty f(t+t_0)e^{-j\Omega t} dt \\ &=e^{-j\Omega t_0}\int_{-\infty}^\infty f(t)e^{-j\Omega t} dt \\ &=\bbox[5px,border:2px solid #FF0000]{e^{-j\Omega t_0}\mathscr{F} [ f(t) ]} \end{aligned}$$

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3. 최종풀이.

1에서 구한 식에 2번의 phase shift를 반영하면 됨.

 

$f(t)=A\sin (\omega_0 t-\theta)=A\sin (\omega_0 (t-\frac{\theta}{\omega_0}))$ 이므로, 이에 대한 FT는 다음과 같음.

$$\begin{aligned} \mathscr{F}[ A \sin (\omega_0 t-\theta)] &= \mathscr{F} [ A\sin (\omega_0 (t-\frac{\theta}{\omega_0}))] \\ &= e^{-j\Omega t_0} \left\{-j\pi \delta(\Omega -\omega_0) + j\pi \delta(\Omega+\omega_0) \right\} \\ &= e^{-j\Omega \frac{\theta}{\omega_0}} \left\{-j\pi \delta(\Omega -\omega_0) + j\pi \delta(\Omega+\omega_0) \right\} \\ &= e^{-j\Omega \frac{\theta}{\omega_0}} \left\{-j\pi \delta(\Omega -\omega_0) \right \}+ e^{-j\Omega \frac{\theta}{\omega_0}} \left\{j\pi \delta(\Omega+\omega_0) \right\} \\ &= e^{-j\omega_0 \frac{\theta}{\omega_0}} \left\{-j\pi \delta(\Omega -\omega_0) \right \}+ e^{-j(-\omega_0) \frac{\theta}{\omega_0}} \left\{j\pi \delta(\Omega+\omega_0) \right\} \\ &= e^{-j\theta} \left\{-j\pi \delta(\Omega -\omega_0) \right \}+ e^{j\theta} \left\{j\pi \delta(\Omega+\omega_0) \right\} \\ \end{aligned}$$

 

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$cos$에 대한 경우는 다음의 동영상을 참고할 것.