[SS] Impulse Function (Dirac Delta Function)

다음과 같이 정의 되는 함수를 $\delta_\epsilon(t)$라고 하자.
$$\delta_\epsilon( t ) =\left\{ \begin{matrix} 0 & ,t < -\frac { \varepsilon }{ 2 } \\ \frac { 1 }{ \varepsilon } & ,-\frac { \varepsilon }{ 2 } \le t<\frac { \varepsilon }{ 2 } \\ 0 & ,t\ge \frac { \varepsilon }{ 2 } \end{matrix} \right.$$

이 함수의 파형을 그리면 다음과 같다. ($\epsilon$의 크기를 점점 줄여가는게 포인트)

위의 그림에서 알 수 있듯이 $\delta_\epsilon (t)$는 Scaling property를 가짐.
$$\delta_\epsilon(at)=\dfrac{1}{|a|}\delta(t)$$

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이 함수는 다음을 만족함.
$$\begin{aligned} & \lim _{ \varepsilon \rightarrow 0 }{ { \delta }_{ \varepsilon }\left( t \right) } =\infty &, t=0\\ & \lim _{ \varepsilon \rightarrow 0 }{ { \delta }_{ \varepsilon }\left( t \right) } =0 &, t\neq 0\\ & \lim _{ \varepsilon \rightarrow 0 }{ \int _{ -\frac { \varepsilon }{ 2 } }^{ \frac { \varepsilon }{ 2 } }{ { \delta }_{ \varepsilon }\left( t \right) dt } =1 } \\ & \delta_\epsilon(at)=\dfrac{1}{|a|}\delta(t) \\ & \delta_\varepsilon(t) = \delta_\varepsilon(-t) \end{aligned}$$

 

위의 조건을 만족하는 함수를 impulse function이라고 하므로, 아래의 함수 $\delta(t)$가 바로 impulse function임.
$$\delta \left( t \right)=\lim _{ \varepsilon \rightarrow 0 }{ { \delta }_{ \varepsilon }\left( t \right) }$$

 

사실 엄밀하게 애기하면 function이 아니지만,
편의를 위해 impulse function이라고 부르면서 함수로 취급.

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