[SS] Properties of Impulse Function

Impulse function (or Dirac delta function)은 이상적으로,

• 오직 한 점에서만 무한대의 값을 가지고,
• 나머지에서는 0의 값을 가지며,
• 적분시 면적인 1이 되는 함수

위 그림에서 숫자 1은 적분시 면적이 1이 됨을 의미

다른 function을 분석하거나, system의 response를 측정할 때, Basis Function으로 사용됨.

어떤 continuous function도 impulse function의 weighted sum으로 표현됨.

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Derivative (도함수) of Unit Step Function

Impulse function은 unit step function의 derivative(도함수)라고 볼 수 있음.

 

유도.

impulse function을 적분하면 다음이 성립함.

$$\int^t_{\tau=-\infty} \delta(\tau) d\tau = \left\{ \begin{matrix} 1, & t\ge 0 \\ 0, & t < 0 \end{matrix} \right.$$ 이는 unit step function $u(t)$로 표현됨.

$$ u(t)=\int^t_{\tau=-\infty}\delta(\tau)d\tau $$

위 식의 left and right side에 미분을 취하면 다음이 성립.

$$\dfrac{du(t)}{dt}=\delta(t)$$

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Sampling Property

$$f(x)\delta(x)=f(0)\delta(x) \\ f(x)\delta(x-x_0) = f(x_0)\delta(x-x_0)$$

 

해당 값을 가져오는 건 아님. impulse와의 곱은 무한대이기 때문임.

등식만이 성립하는 것임을 기억할 것 : 값을 얻어오는 건 sifting property를 통해 이루어짐.

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Sifting Property

impulse function을 통한 일반 Signal의 표현 ($\delta(t)$는 even function이므로)

$$f(x) = \int^{\infty}_{-\infty} f(\tau) \delta(\tau-x)d\tau$$

• Linear combination of impulse funcitons = weighted sum of impulse functions

sifting property는
impulse function을 임의의 function과 곱하고 이를 적분하면
특정 point의 해당 function값을 얻어올 수 있음을 의미한다.
특정 point의 값을 얻어오기 때문에 "체거르기"라는 sifting이라는 이름을 가진다.
하지만 좀더 확장해서 생각하면,
임의의 function의 임의의 point의 값을 얻어낸다는 의미는
해당 function을 다른 형태로 기재한 것이라고도 볼 수 있다. 
즉, sifting property를 이용하여,
임의의 function를 impulse함수들의 weighted sum으로 표현할 수 있게 된다.

유도.

sampling 특성식을 적분(integration)할 경우, 다음이 성립.

$$\begin{aligned}\int^\infty_{-\infty} x(t)\delta(t-t_0)dt &= \int^\infty_{-\infty} x(t_0)\delta(t-t_0)dt \\ &=x(t_0)\int^\infty_{-\infty}\delta(t-t_0)dt \\ &=x(t_0) \\ x(t_0)&=\int^\infty_{-\infty} x(t)\delta(t-t_0)dt\end{aligned}$$

 

이를 일반화하면 임의의 $x(t)$에 대해 다음이 성립

$$x(t)=\int^\infty_{-\infty} x(\tau)\delta(\tau-t)d\tau$$

 

sifting = 체거르기

 

Separable Function

https://dsaint31.tistory.com/629

[SS] Separable signal

 

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같이보면 좋은 URLs

2022.08.29 - [.../Signals and Systems] - [SS] Impulse Function (Dirac Delta Function)

[SS] Impulse Function (Dirac Delta Function)

2023.10.04 - [.../Signals and Systems] - [SS] Orthogonal function : inner product가 0

[SS] Orthogonal function : inner product가 0

https://dsaint31.tistory.com/pages/SS-Continuous-Time-Signal

[SS] Continuous Time Signal

 

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