[SS] System의 종류 (1) : Continuous, Linear

1. Continuous System & Discrete System

Continuous System

• 입력과 출력이 연속 신호인 시스템

---

Discrete System

• 입력과 출력이 이산 신호인 시스템

---

2. Linear System & Non-linear system

Linear system $\mathcal{T}\left\{ \quad \right\}$은 다음 두가지 property를 가짐.

Additivity (가산성) property

$$\begin{matrix} y_1(t)=\mathcal{T}\left\{x_1(t)\right\} \\ y_2(t)=\mathcal{T}\left\{x_2(t)\right\}\end{matrix} \Rightarrow \mathcal{T}\left\{x_1(t)+x_2(t)\right\}=y_1(t)+y_2(t)$$

---

Scaling (or homogeneity) property

$$\begin{aligned} y(t)&=\mathcal{T}\left\{x(t)\right\} \\ ay(t)&=\mathcal{T}\left\{ax(t)\right\} \end{aligned}$$

---

The Principle of Superposition

$$\mathcal{T}\left\{ax_1(t)+bx_2(t)\right\} = ay_1(t)+by_2(t)$$

where

• $y_1(t) = \mathcal{T}\left\{x_1(t)\right\}, y_2(t)=\mathcal{T}\left\{x_2(t)\right\}$
• $a, b$ : constants

additivity와 homogeneity를 동시에 만족 → superposition이라 함.

 

linear system은 superposition을 만족함.

---

non-linear system은 말 그대로 linearity가 성립하지 않는 system임.

참고로, linear system의 경우 matrix equation으로 표현이 가능하며 standard matrix로 해당 system을 표현할 수 있음.

---

A system $\mathcal{T}$ is a linear system if,

• when the input consists of a weighted summation of several signals,
• the output will also be a weighted summation of the response of the system to each individual input signal.

More precisely,

• for any collection $\{f_k(x,y), k=1,2,\dots,K\}$ of input signals, and
• for any collection $\{ \omega_k, k=1,2,\dots,K\}$ of weights,

we have

$$ \mathcal{T}\left[\sum^K_{k=1}\omega_kf_k(x,y)\right]=\sum^K_{k=1} \omega_k \mathcal{T}[f_k(x,y)].\tag{2.31} $$

---

3. Linear system의 장점.

Principle of Superposition

• 아무리 복잡한 형태의 입력신호도 단순한 형태의 기본적인 신호로 분해가능.
• Linear System의 경우, 각각의 기본적인 신호에 대한 응답을 분리하여 계산 후 이들을 더함으로 system의 출력을 구할 수 있음.

주파수 보존

• Linear System의 경우, 입력 신호와 같은 주파수 성분만을 포함하는 출력신호를 보임.
• 다른 주파수 성분이 포함되지 않음.