[SS] The Spectrum of Continuous Time Signals

[SS] Spectrum 이란?

Spectrum은 어떤 복잡한 대상(or signal)을 해당 대상(or signal)을 구성하고 있는 단순한 여러 개의 대상(or singal)로 분해하여 표시한 것을 가르킴. 예를 들어 백색광의 경우, 여러 파장의 빛으로 구성되

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0-1. orthogonal function 이란

basis 가 되려면 orthogonal 해야 좋다.

2023.10.04 - [.../Signals and Systems] - [SS] Orthogonal function : inner product가 0

[SS] Orthogonal function: inner product가 0

1. Orthogonal이란어떤 두 개의 대상이 Othrogoanl (직교)하다는 의미는 (보통 대상은 function 또는 vector임)해당 두 대상의 inner product의 결과가 0이라는 의미이며, 두 대상이 각각에 대해 공유하는 component

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2023.10.05 - [.../Signals and Systems] - [SS] Orhtogonal Function : sin

[SS] Orthogonal Function: sin

0. 대표적 Orthogonal Function $\sin$ signal 은 interval $[-\pi,\pi]$ 에서 orthogoanl function(직교 함수)임.1. 다음을 참고.$$\begin{aligned} \int^{\pi}_{-\pi} f_m (t) f^{*}_{l} (t) dt &= \int^{\pi}_{-\pi} \sin (mt) \sin (lt) dt \\ &= \int^{\pi

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2022.09.21 - [.../Signals and Systems] - [SS] Orthogonal Function : Complex Exponential Function

[SS] Orthogonal Function: Complex Exponential Function

0. Fourier Transform의 Basis Function지수 함수 (정확히는 복소지수함수)는 대표적인 orthogonal function으로 Fourier transform의 basis로 사용이 된다.구간 $T$ 에서 Orthogonal function인 경우, 해당 구간에서 inner product

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1. Fourier Series

1-0. Trigonometric Fourier series

Trigonometric function의 weighted sum으로 periodic function을 나타낼 수 있음

작성중

1-1. Complex Exponential Fourier series

작성중

1-2. FS에서 유한한 갯수의 terms (or harmonics) 고려할 때 가장 좋은 Approximation은?

작성중

1-3. Fourier Series 요약

3. Continuous Time Fourier Transform

3-0. Fourier Series로부터 Fourier Transform으로 확장하기

2022.09.27 - [.../Signals and Systems] - [SS] from CTFS to CTFT

[SS] from CTFS to CTFT

Continuous Time Fourier Series (CTFS)에서 Continuous Time Fouier Transform(CTFT)을 유도하는데 핵심은 다음과 같음. CTFS가 주기신호(periodic signal)에 대해 적용이 되는 점을 이용하여, 주기( $T$ )가 무한대인 주기신호

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3-1. 기본 signals 의 Fourier Transform

Table

2023.10.13 - [.../Signals and Systems] - [SS] A Short Table : Fourier Transform

[SS] Fourier Transform Table

0. Fourier Transform Table $x(t)$ $X(\omega)$ 1 $e^{-a t}u(t), a>0$ $\frac{1}{a+j\omega}$ ref.2 $e^{a t} u(-t) , a>0$ $\frac{1}{a-j\omega}$ 3 $e^{-a \vert t\vert}, a>0$ $\frac{2a}{a^2+\omega^2}$ 4 $te^{-a t}u(t), a>0$ $\frac{1}{ (a+j\omega)^2}$ 5$t^ne^{-a t}u(t

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Impulse Signal

작성예정

Pulse Signal

2022.09.28 - [.../Signals and Systems] - [SS] Fourier Transform of Pulse Signal

[SS] Fourier Transform of Pulse Signal

다음은 pulse signal의 정의임. $x(t)=\left\{\begin{matrix}1, & |t|\le\frac{\tau}{2} \\ 0, & \text{otherwise} \end{matrix}\right.$ Fourier Transform은 다음과 같음. $$\begin{aligned} X(\Omega)&=\int^\infty_{-\infty} x(t) e^{-j\Omega t} dt \\ &

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Sinc Signal

2022.09.28 - [.../Signals and Systems] - [SS] Fourier Transform of sinc

[SS] Fourier Transform of sinc

sinc 함수의 FT는 Pulse에 대한 inverse Fourier Transform으로 구하는게 쉽다. $\mathcal{FT}\left[\text{Rect}\left(\frac{t}{\tau}\right)\right] = \tau \text{sinc} \left(\frac{\tau}{2\pi}\Omega\right)$ 다음 그림은 $\text{Rect}_\tau(t)$ 을

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Exponential Signal

2022.09.28 - [.../Signals and Systems] - [SS] Fourier Transform of Real Exponential Function

[SS] Fourier Transform of Real Exponential Function

다음과 같은 Real Exponential Function이 있다고 하자. $b e^{-at} u(t), a>0$ 해당 Real Exponential Function의 Fourier Transform은 다음과 같음. $$\begin {align} \int^\infty_{-\infty}b e^{-at} u(t)e^{-j\Omega t} \text{d}t &= b \int^{\inft

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기본적인 지수 함수의 적분을 이용

2022.09.28 - [.../Signals and Systems] - [SS] Fourier Transform of Complex Exponential Function

[SS] Fourier Transform of Complex Exponential Function

Note: Time domain에서의 Complex Exponential Function의 곱이 Frequency domain에서는 shift로 나타남. : Frequency Shifting. 다음과 같은 Complex Exponential Function의 Fourier Transform을 수행. $e^{-j\Omega_0t}$ Fourier Transform을 수

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freq. shifting과 연결됨. 상수 함수에 complex exponential 함수가 곱해진 것으로 처리.

Sign Signal (or Signum)

2022.09.28 - [.../Signals and Systems] - [SS] Fourier Transform of Signum

[SS] Fourier Transform of Signum

Signum function은 다음과 같음. $$ \text{sgn}(t)=\left\{\begin{matrix}1, & \text{ for } t \ge 0 \\ -1, & \text{ for } t

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Unit Step Signal

2022.09.28 - [.../Signals and Systems] - [SS] Fourier Transform of Unit Step Function

[SS] Fourier Transform of Unit Step Function

Unit step function은 다음과 같음. $$ u(t)=\left\{\begin{matrix}1, & \text{ for } t \ge 0 \\ 0, & \text{ for } t

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Fourier Transform of Impulse Train

2021.10.28 - [.../Signals and Systems] - [SS] Impulse Train의 FT 구하기.

[SS] Impulse Train의 FT 구하기.

impulse train은 periodic function. 때문에, impulse train은 Fourier series로 표현가능함. $\begin{align} x(t) &= \displaystyle {\sum_{k=-\infty}^{\infty}} \delta (t -kT) \end{align}$ 위의 impulse traine은 주기 $T$ 로 delta function이 반

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3-2. Fourier Transform의 성질

2023.12.14 - [.../Signals and Systems] - [SS] Fourier Transform : Frequency Shifting

[SS] Fourier Transform : Frequency Shifting

어떤 성질인가? $x(t)e^{j\Omega_0}t \leftrightarrow X(\Omega-\Omega_0)$ $x(t)$ : time domain function $X( \Omega)$ : Fourier representation, Foruier Transform $\Omega_0$ : Frequency Shift (constant) Frequency Domain에서 $\Omega_0$ 만큼 shifting

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2023.10.19 - [.../Signals and Systems] - [SS] CTFT Properties : Modulation Theorem

[SS] CTFT Properties : Modulation Theorem

CTFT 에서 Modulation Property란 $x(t)$ 의 CTFT가 $X(\Omega)$ 인 경우, $x(t) \cos (\Omega_0 t)$ 의 CTFT가 다음과 같음을 의미함. $$\mathcal{F}\left[ x(t) \cos (\Omega_0 t)\right] = \frac{1}{2} \left[ X(\Omega-\Omega_0) + X(\Omega+\Omega_0)\ri

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2024.12.02 - [.../Signals and Systems] - [SS] Scaling Property (and Zero-Interpolation): Fourier Transform

[SS] Scaling Property: Fourier Transform

Continuous Signal: Time Scaling $x(t) \leftrightarrow X(\Omega) \\ y(t)=x(at) \\ Y(\Omega) = \frac{1}{|a|}X\left( \frac{\Omega}{a} \right)$ Compression: $|a|>1$ / Expansion $|a|Time domain 에서의 compression은 Freq. domain 에서의 Expansion, Vice Ver

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2024.12.10 - [.../Signals and Systems] - [SS] FT: Convolution Property

[SS] FT: Convolution Property

1. Covolution의 FT: Multiplication $x(t) \leftrightarrow X(\Omega), \quad h(t) \leftrightarrow H(\Omega) \\ h(t) * x(t) \leftrightarrow H(\Omega) X(\Omega)$ 1-1. 증명:$$\begin{aligned}&\int_{-\infty}^\infty [x(t) * h(t)] e^{-j\Omega t} dt\\&= \int_{-\

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4. Frequency Response

System을 기술하는 방법 중의 하나 : Impulse Response의 FT

5. Fourier Transform Applications

Filter : omit

Amplitude modulation and demodulation : omit

Sampling Theorem

2024.10.21 - [.../Signals and Systems] - [SS] Shannon-Nyquist Sampling Theorem

[SS] Shannon-Nyquist Sampling Theorem

신호의 최대 주파수보다 최소 2배 이상의 샘플링 주파수로 샘플링하면 원래 신호를 완벽하게 복원할 수 있다는 Theorem $f_\text{sampling} \ge 2f_\text{max}$ where $f_\text{sampling}$ : sampling frequency. sampling rate

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[SS] The Spectrum of Continuous Time Signals

0. 시작하기

0-0. Spectrum이란

0-1. orthogonal function 이란

1. Fourier Series

1-0. Trigonometric Fourier series

1-1. Complex Exponential Fourier series

1-2. FS에서 유한한 갯수의 terms (or harmonics) 고려할 때 가장 좋은 Approximation은?

1-3. Fourier Series 요약

3. Continuous Time Fourier Transform

3-0. Fourier Series로부터 Fourier Transform으로 확장하기

3-1. 기본 signals 의 Fourier Transform

3-2. Fourier Transform의 성질

4. Frequency Response

5. Fourier Transform Applications

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