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Spectrum이란
2023.10.03 - [.../Signals and Systems] - [SS] Spectrum 이란?
[SS] Spectrum 이란?
Spectrum은 어떤 복잡한 대상(or signal)을 해당 대상(or signal)을 구성하고 있는 단순한 여러 개의 대상(or singal)로 분해하여 표시한 것을 가르킴. 예를 들어 백색광의 경우, 여러 파장의 빛으로 구성되
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orthogonal function 이란
basis 가 되려면 orthogonal 해야 좋다.
2023.10.04 - [.../Signals and Systems] - [SS] Orthogonal function : inner product가 0
[SS] Orthogonal function : inner product가 0
Orthogonal이란 어떤 두개의 대상이 Othrogoanl (직교)하다는 의미는 해당 두 대상의 inner product의 결과가 0이라는 의미이며, 두 대상이 각각에 대해 공유하는 component가 없음을 의미한다. 가장 쉬운 예
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2023.10.05 - [.../Signals and Systems] - [SS] Orhtogonal Function : sin
[SS] Orhtogonal Function : sin
$\sin$ signal 은 interval $[-\pi,\pi]$에서 orthogoanl function(직교 함수)임. 다음을 참고. $$\begin{aligned} \int^{\pi}_{-\pi} f_m (t) f^{*}_{l} (t) dt &= \int^{\pi}_{-\pi} \sin (mt) \sin (lt) dt \\ &= \int^{\pi}_{-\pi} \left[ \frac{1}{2} \left
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2022.09.21 - [.../Signals and Systems] - [SS] Orthogonal Function : Complex Exponential Function
[SS] Orthogonal Function : Complex Exponential Function
지수 함수 (정확히는 복소지수함수)는 대표적인 orthogonal function으로 Fourier transform의 basis로 사용이 된다. 구간 $T$에서 Orthogonal function인 경우, 해당 구간에서 inner product를 취할 때 자기자신과 inner
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Fourier Series
Trigonometric Fourier series
Trigonometric function의 weighted sum으로 periodic function을 나타낼 수 있음
작성중
Complex Exponential Fourier series
작성중
FS에서 유한한 갯수의 terms (or harmonics) 고려할 때 가장 좋은 Approximation은?
작성중
Fourier Series 요약
Continuous Time Fourier Transform
Fourier Series로부터 Fourier Transform으로 확장하기
2022.09.27 - [.../Signals and Systems] - [SS] from CTFS to CTFT
[SS] from CTFS to CTFT
Continuous Time Fourier Series (CTFS)에서 Continuous Time Fouier Transform(CTFT)을 유도하는데 핵심은 다음과 같음. CTFS가 주기신호(periodic signal)에 대해 적용이 되는 점을 이용하여, 주기($T$)가 무한대인 주기신호
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기본 signals 의 Fourier Transform
Table
2023.10.13 - [.../Signals and Systems] - [SS] A Short Table : Fourier Transform
[SS] A Short Table : Fourier Transform
$x(t)$ $X(\omega)$ 1 $e^{-a t}u(t), a>0$ $\frac{1}{a+j\omega}$ 2 $e^{a t} u(-t) , a>0$ $\frac{1}{a-j\omega}$ 3 $e^{-a \vert t\vert}, a>0$ $\frac{2a}{a^2+\omega^2}$ 4 $te^{-a t}u(t), a>0$ $\frac{1}{ (a+j\omega)^2}$ 5 $t^ne^{-a t}u(t), a>0$ $\frac{n!}{ (a+j\
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Impulse Signal
작성예정
Pulse Signal
2022.09.28 - [.../Signals and Systems] - [SS] Fourier Transform of Pulse Signal
[SS] Fourier Transform of Pulse Signal
다음은 pulse signal의 정의임. $$ x(t)=\left\{\begin{matrix}1, & |t|\le\frac{\tau}{2} \\ 0, & \text{otherwise} \end{matrix}\right.$$ Fourier Transform은 다음과 같음. $$\begin{aligned} X(\Omega)&=\int^\infty_{-\infty} x(t) e^{-j\Omega t} dt \\ &
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Sinc Signal
2022.09.28 - [.../Signals and Systems] - [SS] Fourier Transform of sinc
[SS] Fourier Transform of sinc
sinc 함수의 FT는 Pulse에 대한 inverse Fourier Transform으로 구하는게 쉽다. $$ \mathcal{FT}\left[\text{Rect}\left(\frac{t}{\tau}\right)\right] = \tau \text{sinc} \left(\frac{\tau}{2\pi}\Omega\right)$$ 다음 그림은 $\text{Rect}_\tau(t)$을
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Exponential Signal
2022.09.28 - [.../Signals and Systems] - [SS] Fourier Transform of Real Exponential Function
[SS] Fourier Transform of Real Exponential Function
다음과 같은 Real Exponential Function이 있다고 하자. $$b e^{-at} u(t), a>0$$ 해당 Real Exponential Function의 Fourier Transform은 다음과 같음. $$\begin {align} \int^\infty_{-\infty}b e^{-at} u(t)e^{-j\Omega t} \text{d}t &= b \int^{\inft
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- 기본적인 지수 함수의 적분을 이용
2022.09.28 - [.../Signals and Systems] - [SS] Fourier Transform of Complex Exponential Function
[SS] Fourier Transform of Complex Exponential Function
Note: Time domain에서의 Complex Exponential Function의 곱이 Frequency domain에서는 shift로 나타남. : Frequency Shifting. 다음과 같은 Complex Exponential Function의 Fourier Transform을 수행. $$e^{-j\Omega_0t}$$ Fourier Transform을 수
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- freq. shifting과 연결됨. 상수 함수에 complex exponential 함수가 곱해진 것으로 처리.
Sign Signal (or Signum)
2022.09.28 - [.../Signals and Systems] - [SS] Fourier Transform of Signum
[SS] Fourier Transform of Signum
Signum function은 다음과 같음. $$ \text{sgn}(t)=\left\{\begin{matrix}1, & \text{ for } t \ge 0 \\ -1, & \text{ for } t
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Unit Step Signal
2022.09.28 - [.../Signals and Systems] - [SS] Fourier Transform of Unit Step Function
[SS] Fourier Transform of Unit Step Function
Unit step function은 다음과 같음. $$ u(t)=\left\{\begin{matrix}1, & \text{ for } t \ge 0 \\ 0, & \text{ for } t
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Fourier Transform of Impulse Train
2021.10.28 - [.../Signals and Systems] - [SS] Impulse Train의 FT 구하기.
[SS] Impulse Train의 FT 구하기.
impulse train은 periodic function. 때문에, impulse train은 Fourier series로 표현가능함. $$\begin{align} x(t) &= \displaystyle {\sum_{k=-\infty}^{\infty}} \delta (t -kT) \end{align} $$ 위의 impulse traine은 주기 $T$로 delta function이 반
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Fourier Transform의 성질
2023.12.14 - [.../Signals and Systems] - [SS] Fourier Transform : Frequency Shifting
[SS] Fourier Transform : Frequency Shifting
어떤 성질인가? $$x(t)e^{j\Omega_0}t \leftrightarrow X(\Omega-\Omega_0)$$ $x(t)$ : time domain function $X( \Omega)$ : Fourier representation, Foruier Transform $\Omega_0$ : Frequency Shift (constant) Frequency Domain에서 $\Omega_0$ 만큼 shifting
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2023.10.19 - [.../Signals and Systems] - [SS] CTFT Properties : Modulation Theorem
[SS] CTFT Properties : Modulation Theorem
CTFT 에서 Modulation Property란 $x(t)$의 CTFT가 $X(\Omega)$인 경우, $x(t) \cos (\Omega_0 t)$의 CTFT가 다음과 같음을 의미함. $$\mathcal{F}\left[ x(t) \cos (\Omega_0 t)\right] = \frac{1}{2} \left[ X(\Omega-\Omega_0) + X(\Omega+\Omega_0)\ri
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Frequency Response
System을 기술하는 방법 중의 하나 : Impulse Response의 FT
Fourier Transform Applications
Filter : omit
Amplitude modulation and demodulation : omit
Sampling Theorem
2024.10.21 - [.../Signals and Systems] - [SS] Shannon-Nyquist Sampling Theorem
[SS] Shannon-Nyquist Sampling Theorem
신호의 최대 주파수보다 최소 2배 이상의 샘플링 주파수로 샘플링하면 원래 신호를 완벽하게 복원할 수 있다는 Theorem $$f_\text{sampling} \ge 2f_\text{max}$$where$f_\text{sampling}$ : sampling frequency. sampling rate
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