sinc 함수의 FT는 Pulse에 대한 inverse Fourier Transform으로 증명하는게 가장 쉽다.
우선 다음과 같이 Pulse Signal에서 FT는 sinc 가 나온다.
F[Rect(tτ)]=τsinc(τ2πΩ)
다음 그림은 Rectτ(t)을 나타낸다.

pulse signal에 대한 FT이 sinc이므로, duality에 의해 sinc를 FT할 경우 pulse가 나오는 것을 예측할 수 있다.
즉, pulse signal을 inverse Fouriter transform하여
sinc가 나오는지를 보이면 된다.
이를 보이기 위해 위의 pulse signal을 frequncy domain으로 바꾼다.

Pulse signal의 Inverse Fourier Transform은 다음과 같음.
x(t)=12π∫∞−∞X(Ω)ejΩtdΩ=12π∫Ωs2−Ωs21ejΩtdΩ=12πejΩtjt|Ωs2−Ωs2=12π1jt[ejtΩs2−ejt−Ωs2]=12π1jt[ejtΩs2−e−jtΩs2]=12π2t[ejtΩs2−e−jtΩs2]2j=12π2tsin(Ωst2)=12πsin(Ωst2)t2=12πΩssin(Ωst2)Ωst2=12πΩssinc(Ωs2πt)
FT는 FT의 역변환이므로, 다음이 성립함.
∫∞−∞Ωs2πsinc(Ωs2πt)e−jΩtdt=Rect(ΩΩs)
FT는 linear하므로 다음이 성립.
∫∞−∞2πΩsΩs2πsinc(Ωs2πt)e−jΩtdt=2πΩsRect(ΩΩs)F[sinc(Ωs2πt)]=2πΩsRect(ΩΩs)
2022.09.28 - [.../Signals and Systems] - [SS] Fourier Transform of Pulse Signal
[SS] Fourier Transform of Pulse Signal
다음은 pulse signal의 정의임. x(t)={1,|t|≤τ20,otherwise Fourier Transform은 다음과 같음. $$\begin{aligned} X(\Omega)&=\in..
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