[SS] Fourier Transform of sinc

sinc 함수의 FT는 Pulse에 대한 inverse Fourier Transform으로 증명하는게 가장 쉽다.

 

우선 다음과 같이 Pulse Signal에서 FT는 sinc 가 나온다.

$$\mathcal{F}\left[\text{Rect}\left(\frac{t}{\tau}\right)\right] = \tau \text{sinc} \left(\frac{\tau}{2\pi}\Omega\right)$$

 

다음 그림은 $\text{Rect}_\tau(t)$을 나타낸다.

pulse signal에 대한 FT이 sinc이므로, duality에 의해 sinc를 FT할 경우 pulse가 나오는 것을 예측할 수 있다.

 

즉, pulse signal을 inverse Fouriter transform하여
sinc가 나오는지를 보이면 된다.

 

이를 보이기 위해 위의 pulse signal을 frequncy domain으로 바꾼다.

Pulse signal의 Inverse Fourier Transform은 다음과 같음.

$$\begin{aligned} x(t)&=\frac{1}{2\pi}\int^\infty_{-\infty} X(\Omega) e^{j\Omega t} d\Omega \\ &=\frac{1}{2\pi}\int^{\frac{\Omega_s}{2}}_{-\frac{\Omega_s}{2}} 1 e^{j \Omega t} d\Omega \\ &=\frac{1}{2\pi}\left. \frac{e^{j\Omega t}}{jt} \right| ^{\frac{\Omega_s}{2}} _{-\frac{\Omega_s}{2}} \\ &=\frac{1}{2\pi}\frac{1}{j t} \left[ e^{jt \frac{\Omega_s}{2}} - e^{jt \frac{-\Omega_s}{2}}\right] \\ &=\frac{1}{2\pi}\frac{1}{j t} \left[ e^{jt \frac{\Omega_s}{2}} - e^{-jt \frac{\Omega_s}{2}}\right] \\ &=\frac{1}{2\pi}\frac{2}{t} \frac{\left[ e^{jt \frac{\Omega_s}{2}} - e^{-jt \frac{\Omega_s}{2}}\right]}{2j} \\ &=\frac{1}{2\pi}\frac{2}{t} \sin \left(\Omega_s \frac{t}{2} \right)\\ &=\frac{1}{2\pi}\frac {\sin \left(\Omega_s \frac{t}{2} \right)} {\frac{t}{2} } \\ &=\frac{1}{2\pi}\Omega_s \frac {\sin \left(\Omega_s \frac{t}{2} \right)} {\frac{\Omega_s t}{2 } } \\ &=\frac{1}{2\pi}\Omega_s \text{sinc} \left(\frac{\Omega_s}{2\pi}t \right)\\ \end{aligned}$$

 

 

FT는 FT의 역변환이므로, 다음이 성립함.

$$\int^\infty_{-\infty} \frac{\Omega_s}{2\pi} \text{sinc} \left(\frac{\Omega_s}{2\pi}t \right) e^{-j\Omega t} dt = \text{Rect}\left(\frac{\Omega}{\Omega_s}\right)$$

 

FT는 linear하므로 다음이 성립.

$$\int^\infty_{-\infty} \frac{2\pi}{\Omega_s}\frac{\Omega_s}{2\pi} \text{sinc} \left(\frac{\Omega_s}{2\pi}t \right) e^{-j\Omega t} dt = \frac{2\pi}{\Omega_s}\text{Rect}\left(\frac{\Omega}{\Omega_s}\right)\\ \mathcal{F}\left[\text{sinc} \left(\frac{\Omega_s}{2\pi}t\right) \right]=\frac{2\pi}{\Omega_s}\text{Rect}\left(\frac{\Omega}{\Omega_s}\right)$$

 

2022.09.28 - [.../Signals and Systems] - [SS] Fourier Transform of Pulse Signal

[SS] Fourier Transform of Pulse Signal